Signaldarstellung/Diskrete Fouriertransformation (DFT) - Versionsgeschichte

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2021-05-14T14:40:21Z

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-*Will man&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\} \approx x(t)$&nbsp; erreichen,&nbsp; so müsste&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; sehr viel größer gewählt werden als in diesem Beispiel. }}
+*Will man&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\} \approx x(t)$&nbsp; erreichen,&nbsp; so muss&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; sehr viel größer gewählt werden als in diesem Beispiel. }}
@@ Zeile 166: / Zeile 166: @@
 Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:
-*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Zeitbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
+*Die&nbsp; $N$&nbsp; $\text{Zeitbereichskoeffizienten}$&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
 :$$d(\nu) =
    {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Frequenzbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
+*Die&nbsp; $N$&nbsp; $\text{Frequenzbereichskoeffizienten}$&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
 :$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
    {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Abkürzend wird für den von&nbsp; $N$&nbsp; abhängigen&nbsp;  '''komplexen Drehfaktor'''&nbsp;  geschrieben:
+*Abkürzend wird für den von&nbsp; $N$&nbsp; abhängigen&nbsp;  $\text{komplexen Drehfaktor}$&nbsp;  geschrieben:
 :$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
   = \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
   \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2730__Sig_T_5_1_S5_neu.png|right|frame|Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit&nbsp; $N=8$]]
+[[Datei:P_ID2730__Sig_T_5_1_S5_neu.png|right|frame|Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; mit&nbsp; $N=8$]]
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Unter dem Begriff&nbsp;  '''Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''DFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der&nbsp; $N$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; aus den&nbsp; $N$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$:
+Unter dem Begriff&nbsp;  $\text{Diskrete Fouriertransformation}$&nbsp; &ndash; kurz $\text{DFT}$&nbsp; &ndash; versteht man die Berechnung der&nbsp; $N$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; aus den&nbsp; $N$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
@@ Zeile 204: / Zeile 204: @@
    A}}\hspace{0.01cm}.$$
-[[Datei:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der IDFT mit&nbsp; $N=8$]]
+[[Datei:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der Inversen Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; mit&nbsp; $N=8$]]
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Unter dem Begriff&nbsp;  '''Inverse Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''IDFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
+Unter dem Begriff&nbsp;  $\text{Inverse Diskrete Fouriertransformation}$&nbsp; &ndash; kurz $\text{IDFT}$&nbsp; &ndash; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
 :$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
   D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.07cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit den Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; gilt auch hier:
+Mit den Indizes&nbsp; $\nu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1, $&nbsp; &nbsp; $\mu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; gilt wieder:
 :$$d(\nu) =
    {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
@@ Zeile 226: / Zeile 226: @@
-Ein Vergleich zwischen der&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Von_der_kontinuierlichen_zur_diskreten_Fouriertransformation|DFT]]&nbsp; und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:
+Ein Vergleich zwischen&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Von_der_kontinuierlichen_zur_diskreten_Fouriertransformation|DFT]]&nbsp; und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann.&nbsp; Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:
 *Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
-*Bei der IDFT entfällt die Division durch&nbsp; $N$.
+*Bei der IDFT entfällt die Division durch $N$.
@@ Zeile 235: / Zeile 235: @@
 Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.
-[[Datei:P_ID1136__Sig_T_5_1_S7_neu.png|center|frame|Zeit&ndash; und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT]]
+[[Datei:P_ID1136__Sig_T_5_1_S7_neu.png|right|frame|Zeit&ndash; und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT]]
 Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:
-*Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; stets die Einheit der Zeitfunktion.
+#Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; stets die Einheit der Zeitfunktion.
-*Dividiert man&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
+#Dividiert man&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
-*Die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
+#Die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; sind stets komplex anzuesetzen, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
-*Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$.
+#Man verwendet auch komplexe Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  DFT und IDFT sind auch bei Bandpass–Signalen anwendbar.
-*Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$&nbsp; (gefüllte Kreise in der Grafik).
+#Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist  den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$&nbsp; (gefüllte Kreise in der Grafik).
-*Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle  = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  &nbsp; sowie &nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle  =   \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$&nbsp; werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
+<br clear=all>
 :$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle  \hspace{0.05cm}.$$
-*Ist die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; bereits auf den Bereich&nbsp; $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$&nbsp; begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:  &nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
+*Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; bereits auf den Bereich&nbsp; $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$&nbsp; begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:
 *Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; gezeigte Zuordnung zwischen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und den Koeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; wählen.
@@ Zeile 253: / Zeile 255: @@
 Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls&nbsp; $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
-[[Datei:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Koeffizienten  mit&nbsp; $N=8$]]
+[[Datei:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Zeitkoeffizienten  mit&nbsp; $N=8$]]
 Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten $($gültig für&nbsp;  $N = 8)$.

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 [[Datei:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|right|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]
-Entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; kann man die Abtastung des Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Multiplikation mit einem Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; beschreiben.
+Entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; kann man die Abtastung des Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Multiplikation mit einem Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; beschreiben:
 Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Zeitsignal

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ==Frequenzdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Zeitbereich==
 <br>
-Die Diskretisierung von&nbsp; $X(f)$&nbsp; lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Spektrum:
+Die Diskretisierung von&nbsp; $X(f)$&nbsp; lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben.&nbsp; Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Spektrum:
 :$${\rm A}\{X(f)\} =  X(f) \cdot   \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
   f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$
-Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls $($mit Impulsgewichten&nbsp; $f_{\rm A})$&nbsp; in den Zeitbereich, so erhält man mit&nbsp; $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:
+Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls&nbsp; $($mit Impulsgewichten&nbsp; $f_{\rm A})$&nbsp; in den Zeitbereich, so erhält man mit&nbsp; $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:
 :$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
    \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Multiplikation mit&nbsp; $X(f)$&nbsp; entspricht im Zeitbereich der Faltung mit&nbsp; $x(t)$. Man erhält das im Abstand&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; periodifizierte Signal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$:
+Die Multiplikation mit&nbsp; $X(f)$&nbsp; entspricht im Zeitbereich der Faltung mit&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Man erhält das im Abstand&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; periodifizierte Signal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$:
 :$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
-* Deshalb  unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$&nbsp; aufgrund von Überlappungen deutlich von&nbsp; $x(t)$.}}
+* Deshalb  unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$&nbsp; aufgrund von Überlappungen deutlich von&nbsp; $x(t)$.
@@ Zeile 104: / Zeile 107: @@
 <br>
 [[Datei:P_ID1135__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)]]
-Zur so genannten&nbsp; ''finiten Signaldarstellung''&nbsp; kommt man,
+Zur so genannten&nbsp; $\text{finiten Signaldarstellung}$&nbsp; kommt man,
 *wenn sowohl die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$
 *als auch die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$
@@ Zeile 110: / Zeile 113: @@
 ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
-<br clear=all>
 Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
 *Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion&nbsp; $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$&nbsp; mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
 *Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung $($mit&nbsp; $f_{\rm P})$&nbsp; der abgetasteten Spektralfunktion&nbsp; $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
-*Zwischen dem blauen finiten Signal (linke Skizze) und dem grünen finiten Signal (rechte Skizze) besteht eine Fourierkorrespondenz, und zwar folgende:
+*Zwischen dem blauen finiten Signal&nbsp; (linke Skizze)&nbsp; und dem grünen finiten Signal&nbsp; (rechte Skizze)&nbsp; besteht folgende Fourierkorrespondenz:
 :$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$
 *Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$&nbsp; der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von&nbsp; $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches&nbsp; $(N)$&nbsp; des Frequenzabtastabstandes&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; ist.
-*Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei die natürliche Zahl&nbsp; $N$&nbsp; in der Praxis meist eine Zweierpotenz ist&nbsp; (obiger Grafik liegt der Wert&nbsp; $N = 8$&nbsp; zugrunde):
+*Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei die natürliche Zahl&nbsp; $N$&nbsp; in der Praxis meist eine Zweierpotenz ist&nbsp; (der obigen Grafik liegt der Wert&nbsp; $N = 8$&nbsp; zugrunde):
 :$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A}}= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
   N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei Einhaltung der Bedingung&nbsp; $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$&nbsp; ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:
+*Bei Einhaltung der Bedingung&nbsp; $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$&nbsp; ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar.&nbsp; Somit gilt:
 :$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 133: / Zeile 136: @@
 *Die Zeitfunktion&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$&nbsp; besitzt die Periode&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
 *Die Periode im Frequenzbereich ist&nbsp; $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$.
-*Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils&nbsp; $N$&nbsp; '''komplexe Zahlenwerte''' in Form von Impulsgewichten aus.}}
+*Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils&nbsp; $N$&nbsp; $\text{komplexe Zahlenwerte}$&nbsp; in Form von Impulsgewichten aus.}}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Es liegt ein zeitbegrenztes (impulsartiges) Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; in abgetasteter Form vor, wobei  der Abstand zweier Abtastwerte&nbsp; $T_{\rm A} = 1\, {\rm &micro; s}$&nbsp; beträgt:
+Es liegt ein zeitbegrenztes&nbsp; (impulsartiges)&nbsp; Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; in abgetasteter Form vor, wobei  der Abstand zweier Abtastwerte&nbsp; $T_{\rm A} = 1\, {\rm &micro; s}$&nbsp; beträgt:
 *Nach einer diskreten Fouriertransformation mit&nbsp; $N = 512$&nbsp; liegt das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; in Form von Abtastwerten im Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $&nbsp; vor.
-*Vergrößert man den DFT&ndash;Parameter auf&nbsp;  $N= 2048$, so ergibt sich ein (vierfach) feineres Frequenzraster mit&nbsp; $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.}}
+*Vergrößert man den DFT&ndash;Parameter auf&nbsp;  $N= 2048$, so ergibt sich ein&nbsp; (vierfach)&nbsp; feineres Frequenzraster mit&nbsp; $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 ==Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation==
 <br>
-Die&nbsp; '''Fouriertransformation'''&nbsp; gemäß der bisherigen Beschreibung im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Aperiodische Signale &ndash; Impulse]]&nbsp; weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.
+Die&nbsp; $\text{Fouriertransformation}$&nbsp; gemäß der bisherigen Beschreibung im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Aperiodische Signale &ndash; Impulse]]&nbsp; weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.
 Sollen die Spektralanteile&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 aus zwei Gründen ungeeignet:
-*Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
+*Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale.&nbsp; Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
 *Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 $\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$&nbsp;
-Ein&nbsp; '''kontinuierliches Signal'''&nbsp; muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich
+Ein&nbsp; $\text{kontinuierliches Signal}$&nbsp; muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich
-*den der&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; zur Diskretisierung, und
+*den der&nbsp; $\text{Abtastung}$'&nbsp; zur Diskretisierung, und
-*den der&nbsp; '''Fensterung'''&nbsp; zur Begrenzung des Integrationsintervalls.}}
+*den der&nbsp; $\text{Fensterung}$&nbsp; zur Begrenzung des Integrationsintervalls.}}
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 ==Zeitdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Frequenzbereich==
 <br>
-Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; jeweils reell und gaußförmig.
+Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich.&nbsp; Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; jeweils reell und gaußförmig.
-[[Datei:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|center|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]
+[[Datei:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|right|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]
-Entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; kann man die Abtastung des Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Multiplikation mit einem Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Zeitsignal
+Entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; kann man die Abtastung des Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Multiplikation mit einem Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; beschreiben.
 :$${\rm A}\{x(t)\} =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
@@ Zeile 48: / Zeile 50: @@
   )\hspace{0.05cm}.$$
-Dieses abgetastete Signal&nbsp; $\text{A}\{ x(t)\}$&nbsp; transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; entspricht im Frequenzbereich die Faltung von&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum&nbsp; $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; die Frequenzperiode der Funktion&nbsp; $\text{P}\{ X(f)\}$&nbsp; angibt:
+Dieses abgetastete Signal&nbsp; $\text{A}\{ x(t)\}$&nbsp; transformieren wir nun in den Frequenzbereich:
 :$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
-  X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm
+  X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.05cm}.$$
 Dieser Zusammenhang wurde ebenfalls bereits im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp;  hergeleitet, jedoch mit etwas anderer Nomenklatur:
 *Das abgetastete Signal bezeichnen wir nun mit&nbsp; $\text{A}\{ x(t)\}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
-* Die&nbsp; '''Frequenzperiode'''&nbsp; wird nun mit&nbsp; $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; bezeichnet.
+* Die&nbsp; $\text{Frequenzperiode}$&nbsp; wird nun mit&nbsp; $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; bezeichnet.
 Diese Nomenklaturänderungen werden auf den folgenden Seiten begründet.
-Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Es ist anzumerken:
+Die Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang.&nbsp Es ist anzumerken:
 *Die Frequenzperiode&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
 *In der Praxis sollte&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz.
-*Ist dies nicht erfüllt, so muss mit&nbsp; '''Aliasing'''&nbsp; gerechnet werden – siehe Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].
+*Ist dies nicht erfüllt, so muss mit&nbsp; $\text{Aliasing}$&nbsp; gerechnet werden – siehe Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].

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 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
-   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$
+   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.07cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$
 In der Grafik erkennt man an einem Beispiel
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   t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$
-in diskretisierter Form: &nbsp; $d(\nu) =
+in diskretisierter Form: &nbsp;
    {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
-   A}}\hspace{0.01cm}.$
+   A}}\hspace{0.01cm}.$$
 [[Datei:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der IDFT mit&nbsp; $N=8$]]
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 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Unter dem Begriff&nbsp;  '''Inversen Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''IDFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
+Unter dem Begriff&nbsp;  '''Inverse Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''IDFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
 :$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
-  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.07cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 Mit den Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; gilt auch hier:
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 *Die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
 *Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$.
-*Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$.
+*Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$&nbsp; (gefüllte Kreise in der Grafik).
 *Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle  = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  &nbsp; sowie &nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle  =   \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$&nbsp; werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
 :$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle  \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Koeffizienten  mit&nbsp; $N=8$]]
-Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten gültig für&nbsp;  $N = 8$
+Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten $($gültig für&nbsp;  $N = 8)$.
 *Für&nbsp;  $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$&nbsp; gilt&nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$: