Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Gauß gefaltet mit Gauß: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls $ | + | Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist: |
:$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$ | :$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$ | ||
:$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$ | :$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$ | ||
| − | Gesucht ist das Ausgangssignal $ | + | Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll. |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| − | {Geben Sie die Spektralfunktionen $ | + | {Geben Sie die Spektralfunktionen ${X(f)}$ und ${H(f)}$ an. Welche Werte ergeben sich jeweils bei der Frequenz $f = 0$? |
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| − | $X(f = 0)$ = { 4 3% } $ | + | $X(f = 0)$ = { 4 3% } $\text{mV/Hz}$ |
| − | $H(f = 0)$ = { 1 3% } | + | $H(f = 0)$ = { 1 3% } |
| − | {Berechnen Sie die Spektralfunktion $ | + | {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$? |
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| − | $Y(f = 0)$ = { 4 3% } $ | + | $Y(f = 0)$  = { 4 3% } $\text{mV/Hz}$ |
| − | {Berechnen Sie den Ausgangsimpuls $ | + | {Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$? |
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| − | $y_0$ = { 0.8 3% } $\text{V}$ | + | $y_0$  = { 0.8 3% } $\text{V}$ |
| − | $\Delta t_y$ = { 5 3% } $\text{ms}$ | + | $\Delta t_y$ = { 5 3% } $\text{ms}$ |
Version vom 18. Januar 2017, 16:49 Uhr
Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:
- $$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
- $$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \cdot f} \right)^2 } ,$$
- $$H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \cdot f} \right)^2 } .$$
Die gesuchten Werte sind $\underline{X(f = 0) = 4 · 10^{–3} \text{V/Hz}}$ und $\underline{H(f = 0) = 1}$.
2. Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
- $$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5 \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$
Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $\underline{Y(f = 0) = 4 \cdot 10^{–3} \text{V/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von $\text{Y(f)}$ ist schmaler als $\text{X(f)}$ und auch schmaler als $\text{H(f)}$.
3. Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
- $${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
Damit erhält man:
- $$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
Der Maximalwert des Signals $\text{y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \underline{= 0.8 V}$. Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze). Das bedeutet: Das Gaußfilter $\text{H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls $\text{y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls $\text{x(t)}$ ist. Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.
