Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Summe von Ternärgrößen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Februar 2017, 14:32 Uhr

Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen

$x ∈ {–2, 0, +2}$,

$y ∈ {–1, 0, +1}$.

Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.

Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:

$ s \in \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}.$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Fragebogen

${\rm Pr}(s>0) \ = $

${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$

${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$

${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$

Musterlösung

In der nebenstehenden Grafik sind die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet, während die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt sind. Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.

1. Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:

$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$

2. Hier gilt folgender Sachverhalt:

$$\rm Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ) = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$

3. Mit den Ergebnissen aus (a) und (b) folgt:

$$\rm Pr(\it x > \rm 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} \it s > \rm 0) = \frac{{\rm Pr} ((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$

4. Analog zur Teilfrage (c) gilt nun:

$$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$

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-[[Datei:P_ID79__Sto_Z_1_4.png|right|]]
+[[Datei:P_ID79__Sto_Z_1_4.png|right|Summe von Ternärgrößen]]
 Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
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 Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.
-Nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe s alle ganzzahligen Werte zwischen –3 und +3 annehmen kann:
+Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:&nbsp;
+<math> s \in \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}.</math>
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
+:[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]
-<math> s \in \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}</math>,
-'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.3. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 ===Fragebogen===
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 {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist:
 |type="{}"}
-$Pr(s>0)$ = { 0.4444 3% }
+${\rm Pr}(s>0) \ = $ { 0.4444 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße x als auch die Summe s positiv sind:
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind:
 |type="{}"}
-$Pr((x>0) \cap (s>0))$ = { 0.3333 3% }
+${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$ { 0.3333 3% }
-{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße x > 0 ist, wenn s > 0 gilt:
+{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt:
 |type="{}"}
-$Pr(x>0|s>0)$ = { 0.75 3% }
+${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$ { 0.75 3% }
-{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe s positiv ist, wenn die Eingangsgröße x > 0 ist:
+{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist:
 |type="{}"}
-$Pr(s>0|x>0)$ = { 1 3% }
+${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$ { 1 }
 </quiz>