Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist: | |
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} | :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} | ||
1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ | 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ | ||
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| + | *Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]] | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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Version vom 3. April 2017, 10:32 Uhr
Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
- $$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
- $$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
- $$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:
- $$A_i^2 + B_i^2 =1.$$
In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend den Parametern
- $A_1 = B_2 = 1$,
- $B_1 = A_2 = $,
- $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} BA_3 = 0.6$,
Dieser Parametersatz wird für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt.
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
- $$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:
- $${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
- Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Die zweite und die letzte Aussage treffen zu. Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: x1 und x2) unkorreliert sind, während x3 statistische Bindungen bezüglich x1 (über die Größe u) und auch in Bezug zu x2 (bedingt durch die Zufallsgröße v) aufweist.
- Die Kombination ρ12 = ρ13 = ρ23 = 0 ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße w benötigen und es müsste beispielsweise x1 = u, x2 = υ und x3 = w gelten.
- Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind x1 und x2 unkorreliert und gleichzeitig auch x1 und x3, so können auch zwischen x2 und x3 keine statistischen Bindungen bestehen.
- Im Allgemeinen werden allerdings sowohl ρ12 als auch ρ13 und ρ23 von 0 verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe 2) betrachtet.
- 2. In diesem Fall sind die Größen x1 = x2 vollständig (zu 100%) korreliert. Mit A2 = A1 und B2 = B1 erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
- $$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
- In gleicher Weise gilt mit A3 = –A1 und B3 = –B1:
- $$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
- 3. Mit diesem Parametersatz ist x1 identisch mit der Zufallsgröße u, während x2 = υ gilt. Da u und υ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich ρ12 = 0. Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
- $$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$$
- Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal x3(t) mehr Ähnlichkeiten mit x1(t) aufweist als mit x2(t). Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
