Aufgaben:Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion

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Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:

• Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.
• Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.
• Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.

Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$ mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt $N_1 = 256$ unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit $n_1 = 8\ \rm {Bit}$ benötigt würden.

Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt $N_2 = 256^2 = 65536$ unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$ und $y_2$ nicht berücksichtigt. Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ – ergibt sich eine geringere Zahl $N_2'$ quantisierter Wertepaare.

Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

Den Quotienten $N_2'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$. In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32$ Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert günstig wäre.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Insbesondere ist zu beachten: Eine $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$. Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren $\xi_1$ und $\xi_2$. Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.
• Entsprechend der Seite Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die Seite Eigenwerte und Eigenvektoren im Kapitel 4.7. Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von K_z lautet:

$$\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist λ₁ = 5/3.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix K_y. Es gelte λ₁ ≥ λ₂.

$\lambda_1$ =

$\lambda_2$ =

2

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße y?

$N_2'/N_2$ =

3

Es gelte λ₁ = 5/3. Berechnen Sie die Eigenwerte λ₂ und λ₃ ≤ λ₂ von K_z.

$\lambda_2$ =

$\lambda_3$ =

4

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße z?

$N_3'/N_3$ =

Musterlösung

Musterlösung

1.  Aus der Bedingung K_y – λ · E = 0 folgt:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 1/3 \\ 1/3 & 1- \lambda \end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -\frac{1}{9} = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}= 1 \pm \frac{1}{3}.$$

Die Eigenwerte dieser 2×2-Matrix sind somit λ₁ = 4/3 und λ₂ = 2/3.

2.  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es

$$N_2 = \left( \frac{8}{\it \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$$

verschiedene Wertepaare. Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten η₁ und η₂ jeweils im Bereich von –4σ₁ bis +4σ₁ (bzw. von –4σ₂ bis +4σ₂) zu quantisieren sind, erhält man

$$N_2' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 .$$

Der Quotient lautet somit mit σ₁² = λ₁ und σ₂² = λ₂:

$$\frac{N_2'}{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}} \cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$

3.  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von K_z lautet:

$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1-\lambda & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1-\lambda \end{array}\right] = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 - \frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) - \frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} - \frac{1}{3}(1- \lambda) \right] = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} ( \lambda - \frac{2}{3})= 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} - \lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} + \frac{2}{9}\lambda = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen: <nobr>λ₁ = 5/3.</nobr> Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte λ₂ und λ₃ zu

$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 - {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:

$$(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$$

Die weiteren Eigenwerte neben λ₁ = 5/3 sind somit gleich und ergeben sich zu λ₂ = λ₃ = 2/3.

4.  Analog zur Vorgehensweise unter Punkt b) ergibt sich hier:

$$\frac{N_3'}{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$