Aufgaben:Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. April 2017, 19:06 Uhr

Für die Kanalkapazität C des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate R bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen :

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von E_S/N₀: $$C( E_{\rm S}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$ Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

E_S: die Energie pro Symbol des Digitalsignals,
N₀: die AWGN–Rauschleistungsdichte.

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von E_B/N₀: $$C( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Berücksichtigt ist der Zusammenhang E_S = R · E_B, wobei R die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt. Eine fehlerfreie Übertragung (unter Berücksichtigung dieses optimalen Codes) ist für das gegebene E_B/N₀ möglich, so lange R ≤ C gilt ⇒ Kanalcodierungstheorem von Shannon.'

Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf C(E_S/N₀). Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung. Hinweis

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.3.

Fragebogen

	R = 1/2 · log₂ (1 + 2 · R · E_B/N₀),
	2²^R = 1 + 2 · R · E_B/N₀,
	E_B/N₀ = (2²^R –1)/(2R).

$Min [EB/N0]$ =

$Min[10 · lg (EB/N0)]$ =

$10 · lg (EB/N0) = 0 dB: C$ =

$R = 1: Min [EB/N0]$ =

	Berechnung der Kanalkapazität C für das vorgegebene E_B/N₀.
	Berechnung des erforderlichen E_B/N₀ für das vorgegebene C.

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> und der Rate <i>R</i> beim AWGN&ndash;Kanal exakt?
 |type="[]"}
-- Falsch
++ <i>R</i> = 1/2 &middot; log<sub>2</sub> (1 + 2 &middot; <i>R</i> &middot; <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>),
-+ Richtig
++ 2<sup>2</sup><sup><i>R</i></sup> = 1 + 2 &middot; <i>R</i> &middot; <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>,
++ <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = (2<sup>2</sup><sup><i>R</i></sup> &ndash;1)/(2<i>R</i>).
-{Input-Box Frage
+{Geben Sie den kleinstmöglichen Wert für <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> an, mit dem man über den AWGN&ndash;Kanal noch fehlerfrei übertragen kann.
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$Min [EB/N0]$ = { 0.693 3% }
+{Welche Ergebnis erhält man in dB?
+|type="{}"}
+$Min[10 · lg (EB/N0)]$ = { 1.59 3% }
+{Geben Sie die AWGN&ndash;Kanalkapazität für 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 0 dB an.
+|type="{}"}
+$10 · lg (EB/N0) = 0 dB:   C$ = { 0.5 3% }
+{Geben Sie das erforderliche <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> für fehlerfreie Übertragung mit <i>R</i> = 1 an. <u>Hinweis:</u> Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
+|type="{}"}
+$R = 1:   Min [EB/N0]$ = { 1.5 3% }
+{Wie kann ein Punkt der <i>C</i>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>)&ndash;Kurve einfacher ermittelt werden?
+|type="[]"}
+- Berechnung der Kanalkapazität <i>C</i> für das vorgegebene <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>.
++ Berechnung des  erforderlichen <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> für das vorgegebene <i>C</i>.