Klassische Definition der Wahrscheinlickeit (Lernvideo)

Inhalt

Die Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit geht von $M$ Elementarergebnissen $E_\mu$ aus, die alle gleichwahrscheinlich sind und zusammen ein vollständiges System bilden. Das heißt: Alle Ergebnissen $E_\mu$ sind paarweise disjunkt und die Vereinigungsmenge über alle $E_\mu$ ergibt die Grundmenge $G$. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Elementarergebnis ist somit ${\rm Pr}(E_\mu) = 1/M.$

Zur Erzeugung einer gaußverteilten Zufallsgröße kann man die Tatsache nutzen, dass sich eine solche Gaußverteilung zum Beispiel dann ergibt, wenn man eine Gleichverteilung (Rechteck-WDF) unendlich oft mit sich selbst faltet. Das Lernvideo (Dauer 3:42) verdeutlicht das Prinzip:

• Die Summe $s = x_1 + x_2$ besitzt eine dreieckförmige WDF $f_s(s)$ zwischen $\pm 1$, wenn die zwei unabhängigen Komponenten $x_1$ und $x_2$ jeweils zwischen $\pm 0.5$ gleichverteilt sind. Dies ist die erste einfache Approximation der Gaußverteilung basierend auf der Faltung für den Prarneter $I = 2$.
• Addiert man nun nicht nur zwei, sondern $I$ solche statistisch unabhängige Komponenten, so wird die Approximation immer besser, je größer $I$ ist. Man erkauft sich die bessere Approximationsqualität mit steigendem $I$ allerdings auch mit einem größeren Rechenaufwand.
• Erforderlich ist dabei stets eine Varianzanpassung, das heißt je größer $I$ ist, desto schmäler muss die rechteckförmige WDF $f_x(x)$ der als identisch angenommenen Eingangsgrößen $x_i$ mit $i = 1$, ... ,$I$ sein, wenn $\sigma_s$ vorgegeben ist.
• Mit der hier beschriebenen Additionsmethode lässt sich der innere Bereich der Gaußschen Glockenkurve sehr gut nachbilden. Dagegen werden die Ausläufer der Gaußkurve unzureichend nachgebildet, außer, man wählt $I$ extrem groß.

Dieses Lernvideo wurde 2004 am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
Buch, Regie und Sprecher: Günter Söder,   Fachliche Beratung: Ioannis Oikokonomidis,  Realisierung: Franz Kohl und Winfried Kretzinger.

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch Tasnád Kernetzky und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.