Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: Was sagt die AWGN-Kanalkapazitätskurve aus?: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | '''(1)''' Da der Punkt <i>X</i> rechts von der Kanalkapazitätskurve <i>C</i><sub>Gauß</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate <i>R</i> = 1, das mit 10 · lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht. Trotz der Coderate <i>R</i> = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist. Ein Binärsystem der Rate <i>R</i> = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: |
| + | *Da der '''Punkt <i>X</i>''' rechts von der Kanalkapazitätskurve <i>C</i><sub>Gauß</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate <i>R</i> = 1, das mit 10 · lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht. | ||
| + | *Trotz der Coderate <i>R</i> = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist. | ||
| + | *Ein Binärsystem der Rate <i>R</i> = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung. | ||
| − | '''(2)''' Hier gelten folgende Aussagen: | + | |
| − | + | '''(2)''' Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Hier gelten folgende Aussagen: | |
| − | $$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} | + | * Das erforderliche <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> für die Rate <i>R</i> = 2 ergibt sich zu |
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| − | + | * Die maximale Coderate <i>R</i><sub>max</sub> für 10 · lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 0 dB ⇒ <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 1 berechnet sich wie folgt: | |
| − | $$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) | + | :$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) |
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R | ||
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$ | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt <i>Y</i> mit den Kenngrößen 10 · lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 0 dB und <i>R</i> = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt. | + | *Beide Berechnungen zeigen, dass der '''Punkt <i>Y</i>''' mit den Kenngrößen 10 · lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 0 dB und <i>R</i> = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt. |
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'''(3)''' Mit einem Binärsystem ist die Rate <i>R</i> = 1.5 niemals realisierbar ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>. | '''(3)''' Mit einem Binärsystem ist die Rate <i>R</i> = 1.5 niemals realisierbar ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>. | ||
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| − | :* Die vorgegebene Kurve <i>C</i><sub>Gauß</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus. | + | '''(4)''' Der '''Punkt <i>Z</i>''' liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt <i>R</i> ≤ 2. Die Rate <i>R</i> = 1.5 wäre also mit <i>M<sub>X</sub></i> = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>. |
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| − | + | * Die vorgegebene Kurve <i>C</i><sub>Gauß</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus. | |
| + | * Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich entsprechend dem Theorieteil „Die Kalalkapazität <i>C</i>als Funktion von <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>” mit der Eigenschaft <i>C</i><sub>BPSK</sub> ≤ 1 bit/Kanalzugriff. <i>C</i><sub>BPSK</sub> und <i>C</i><sub>Gauß</sub> unterscheiden sich signifikant. | ||
| + | * Für das Quaternärsystem (<i>M</i> = 4) müsste man eine entsprechende Kurve <i>C<sub>M</sub></i><sub>=4</sub> berechnen und analysieren. Auch hier gilt <i>C</i><sub><i>M</i>=4</sub> ≤ <i>C</i><sub>Gauß</sub>. | ||
| + | *Für kleines <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> gilt <i>C</i><sub><i>M</i>=4</sub> ≈ <i>C</i><sub>Gauß</sub>, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei <i>C</i><sub><i>M</i>=4</sub> = 2 bit/Kanalzugriff. | ||
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| − | Der Punkt <i>Z</i> ⇒ 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 6 dB, <i>R</i> = 1.5 liegt unterhalb von <i>C</i><sub><i>M</i>=4</sub>. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in | + | Der '''Punkt <i>Z</i>''' ⇒ 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 6 dB, <i>R</i> = 1.5 liegt unterhalb von <i>C</i><sub><i>M</i>=4</sub>. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von <i>C</i><sub>Gauß</sub> kann die Frage nicht beantwortet werden. |
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Version vom 14. Juni 2017, 13:31 Uhr
AWGN–Kanalkapazität als Funktion von 10 · lg (EB/N0)
Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:
- $$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$
- Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen –2 dB und +6 dB dargestellt.
- Der Zusatz „Gauß” weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.
Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:
- System $X$: mit 10 · lg (EB/N0) = 4 dB und R = 1,
- System $Y$: mit 10 · lg (EB/N0) = 0 dB und R = 2,
- System $Z$: mit 10 · lg (EB/N0) = 6 dB und R = 1.5.
In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:
- Digitalsystem: Symbolumfang MX = |X| beliebig,
- Binärsystem: Symbolumfang MX = 2,
- Quaternärsystem: Symbolumfang MX = 4.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität C als Funktion von EB/N0.
- Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log2” verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Da der Punkt X rechts von der Kanalkapazitätskurve CGauß(EB/N0) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate R = 1, das mit 10 · lg (EB/N0) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
- Trotz der Coderate R = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
- Ein Binärsystem der Rate R = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.
(2) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:
- Das erforderliche EB/N0 für die Rate R = 2 ergibt sich zu
- $$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$
- Die maximale Coderate Rmax für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB ⇒ EB/N0 = 1 berechnet sich wie folgt:
- $$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
- Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt Y mit den Kenngrößen 10 · lg (EB/N0) = 0 dB und R = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.
(3) Mit einem Binärsystem ist die Rate R = 1.5 niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.
(4) Der Punkt Z liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt R ≤ 2. Die Rate R = 1.5 wäre also mit MX = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag.
- Die vorgegebene Kurve CGauß(EB/N0) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
- Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich entsprechend dem Theorieteil „Die Kalalkapazität Cals Funktion von EB/N0” mit der Eigenschaft CBPSK ≤ 1 bit/Kanalzugriff. CBPSK und CGauß unterscheiden sich signifikant.
- Für das Quaternärsystem (M = 4) müsste man eine entsprechende Kurve CM=4 berechnen und analysieren. Auch hier gilt CM=4 ≤ CGauß.
- Für kleines EB/N0 gilt CM=4 ≈ CGauß, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei CM=4 = 2 bit/Kanalzugriff.
Der Punkt Z ⇒ 10 · lg EB/N0 = 6 dB, R = 1.5 liegt unterhalb von CM=4. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von CGauß kann die Frage nicht beantwortet werden.
