Aufgaben:Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung

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Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet: $$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos\left[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\right]\hspace{0.05cm}.$$ Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale $υ_{PM}(t)$ und $υ_{FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels

• Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung

$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$

• Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten K. Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante dimensionsbehaftet.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen mit Sicherheit zu?

	Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
	Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
	Die Nachrichtenphase ist sicher $ϕ_N = 0$.
	Die Nachrichtenfrequenz ist sicher $f_N = 10 kHz$.

2

Berechnen Sie das Signal $υ_{PM}(t)$ nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt t = 0?

$υ_{PM}(t = 0)$ = $V$

3

Berechnen Sie das Signal $υ_{FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase $ϕ_N$?

$ϕ_N$ = $Grad$

4

Wie groß ist K zu wählen, damit die Amplitude von $υ_{FM}(t)$ gleich 1.5 V ist?

$K$ = $10^4$ $1/s$

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu?

	Der Phasenhub beträgt $ϕ_{max} = 3$.
	Der Frequenzhub beträgt $Δf_A = 30 kHz$.
	Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen $0.97$ und $1.03 MHz$ auf.
	Mit $f_N = 5 kHz$ würde sich am Phasenhub nichts ändern.
	Mit $f_N = 5 kHz$ würde sich am Frequenzhub nichts ändern.

Musterlösung

Musterlösung

1. a) Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine PM oder eine FM vorliegt. Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$ beträgt. Die Phase $ϕ_N = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorliegt. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

2. Mit der Modulatorkonstanten $K_{PM} = 2 V^{–1}$ erhält man hierfür: $$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb: $$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

3. Für das Ausgangssignal $υ_{FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann geschrieben werden: $$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))=$$ $$ = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$ Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_N = 90°$.

4. In diesem Fall muss gelten: $$ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Alle Lösungsvorschläge sind richtig bis auf den vorletzten: Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann: $$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_A = 3 · f_N = 30 kHz$. Mit der Trägerfrequenz $f_T = 1 MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_A(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen.

Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_A$ davon nicht beeinflusst wird: $$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$