Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst. Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm auf der Angabenseite entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweima erfasst. |
| − | '''(2)''' | + | |
| − | '''(3)''' | + | Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge $„ \ ... \, \ –1 \ –1, +1, –1, \ –1, \ ... \”$. Die lange $„–1”–Folge würde zum Wert $–s_0$ führen. Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $–s_0 + 2 \cdot g_d(t)$. Zum Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$: |
| + | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Richtig sind somit der <u>erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>. | ||
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| + | '''(2)''' Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt: | ||
| + | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 | ||
| + | \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right)\right] - s_0 = $$ | ||
| + | :$$ \ = \ s_0 | ||
| + | \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right)\right] | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für | ||
| + | :$${\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot | ||
| + | T< 0.675$$ | ||
| + | :$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot | ||
| + | T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(3)''' Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich | ||
| + | :$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = | ||
| + | \frac{s_0^2 | ||
| + | \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$ | ||
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| + | Mit der Angabe $„E_B/N_0 = 10 \ \rm dB ”$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: | ||
| + | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
| + | {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$ | ||
| + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} | ||
| + | \cdot | ||
| + | \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | [[Datei:P_ID1395__Dig_Z_3_2_c.png|frame|$\rho_U$ in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz]] | ||
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Version vom 25. Oktober 2017, 20:50 Uhr
Wie in Aufgabe A3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_G(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_G$ soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$
maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_U$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.
In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
- $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter:
- $$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- $\ddot{o}(T_D)$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_D = 0$ angenommen.
- Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzung im Auge ohne Rauschen) sowie durch den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
- $$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
- Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung
Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge $„ \ ... \, \ –1 \ –1, +1, –1, \ –1, \ ... \”$. Die lange $„–1”–Folge würde zum Wert $–s_0$ führen. Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $–s_0 + 2 \cdot g_d(t)$. Zum Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$: :'"`UNIQ-MathJax27-QINU`"' Richtig sind somit der <u>erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>. '''(2)''' Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt: :'"`UNIQ-MathJax28-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für :'"`UNIQ-MathJax30-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax31-QINU`"' '''(3)''' Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich :'"`UNIQ-MathJax32-QINU`"' Mit der Angabe $„E_B/N_0 = 10 \ \rm dB ”$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: :'"`UNIQ-MathJax33-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax34-QINU`"' [[Datei:P_ID1395__Dig_Z_3_2_c.png|frame|$\rho_U$ in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz]]
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