Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum

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Komplexes Nyquistspektrum

Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit dem Spektrum gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$.

Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt $Re[G(f)]$ = $A = 10^{-4} \ \rm V/Hz$.

• Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu $0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
• Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil $Im[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.

Zu überprüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:

$$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$

Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:

• Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$

• Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Eigenschaften von Nyquistsystemen Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:

Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und für das $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion:

$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Für die ersten Teilfragen gelte $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?

$f_{\rm Nyq} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Welcher Rolloff–Faktor liegt hier vor?

$r \ = \ $

3

Berechnen Sie den Maximalwert $g_{0}$ des Nyquistimpulses $g(t)$.

$g_{0} \ = \ $ $\ \rm V$

4

Berechnen Sie $g(t)$ für die Zeitpunkte $t = 100\ \mu \rm s$ und $t = 200\ \mu \rm s$.

$B = 0: g(t = 100\ \mu \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

$B = 0: g(t = 200\ \mu \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit $t = 250\ \mu \rm s$.

$B = 0: g(t = 250\ \mu \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

6

Welche Aussagen treffen für $B \neq 0$ zu? $G(f)$ ist dann komplexwertig.

	Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \ \rm kHz$ und $7 \ \rm kHz$ liegt.
	Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $3 \ \rm kHz$ und $5 \ \rm kHz$ liegt.
	Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $4.5 \ \rm kHz$ und $5.5 \ \rm kHz$ liegt

7

Berechnen Sie $g(t)$ für $t = 250\ \mu \rm s$ und $B = A = 10^{–4} \ \rm V/Hz$.

$B = A = 10^{–4} \ \rm V/Hz: g(t = 250\ \mu \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

Musterlösung

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