Aufgaben:Aufgabe 1.7: Systemwirkungsgrade

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Trapezspektrum

Der Empfänger eines binären Nachrichtenübertragungssystems mit Symboldauer $T$ besteht aus einem Integrator, der durch die Impulsantwort

$$_{\rm E}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/T \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \hspace{0.05cm}|t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \\ \end{array}$$

beschreibbar ist. Danach folgt ein Schwellenwertentscheider mit optimalen Parametern.

Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der Grafik ist im Allgemeinen trapezförmig und wird durch die Zeit $T_{1}$ parametrisiert. Für $T_{1} = 0$ ergibt sich ein Dreieckimpuls, für $T_{1} = T$ das NRZ–Rechteck. Die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ ist stets gleich der Symboldauer $T$, also dem Abstand zweier Sendeimpulse.

Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) vor dem Schwellenwertentscheider kann unter der Voraussetzung, dass keine Impulsinterferenzen auftreten, wie folgt berechnet werden:

$$\rho_d = {g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist $g_{0} = g_{d}(t = 0)$ der Maximalwert des Detektionsgrundimpulses und

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|h_{\rm E}(t)|^2 \,{\rm d} t = \frac{N_0}{2 \cdot T}$$

die Rauschleistung nach dem Empfangsfilter bei AWGN–Rauschen an seinem Eingang.

Im Laufe dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:

• $\rho_{d,\rm max | L}$ ist das maximale SNR unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
• $\rho_{d,\rm max | A}$ ist das maximale SNR bei Spitzenwertbegrenzung (Amplitudenbegrenzung).

Mit diesen Definitionen lassen sich die Systemwirkungsgrade angeben:

$$\eta_{\rm L} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L}}}\hspace{0.05cm},$$

$$\eta_{\rm A} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A}}} = {1}/{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet der so genannte Crestfaktor $C_{\rm S}$ das Verhältnis zwischen dem Maximalwert und dem Effektivwert (Wurzel aus der Leistung) des Sendesignals $s(t)$.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex von Optimierung der Basisbandübertragungssysteme. Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Zahlenwerte:

$$s_0^2 = 10\,{\rm mW},\hspace{0.2cm}T = 3\,{\rm{ \mu s}}, \hspace{0.2cm}N_0 = 3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Impulsenergie $E_{\rm B}$ in Abhängigkeit von $T_{1}$. Welche Werte ergeben sich für $T_{1} = 0$ , $T_{1} = T/2$ und $T_{1} = T$?

$T_{1} = 0: E_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-8} \rm Ws$

$T_{1} = T/2: E_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-8} \rm Ws$

$T_{1} = T: E_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-8} \rm Ws$

2

Welcher Wert $T_{1}$ führt bei Leistungsbegrenzung zum maximal möglichen SNR?

$T_{1}/T \ = \ $

3

Wie groß ist das maximale SNR bei Leistungsbegrenzung?

$\rho_{d,\rm max | L} \ = \ $

4

Wie groß ist der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t)$ in Impulsmitte mit $T_{1} = T/2$?

$T_{1} = T/2: g_{0} \ = \ $ $\ \rm Ws^{1/2}$

5

Berechnen Sie den Systemwirkungsgrad $\eta_{\rm L}$ bei Leistungsbegrenzung.

$T_{1} = T/2: \eta_{\rm L} \ = \ $

6

Berechnen Sie den Crestfaktor.

$T_{1} = T/2: C_{\rm S} \ = \ $

7

Berechnen Sie den Systemwirkungsgrad bei Spitzenwertbegrenzung.

$T_{1} = T/2: \eta_{\rm A} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Zur Vereinfachung der Berechnungen setzen wir $T1' = T1/2$ und $T2' = (T – T1)/2$. Damit ergibt sich für die Sendeimpulsenergie:

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2(t) \,{\rm d} t = 2 \cdot \int_{0}^{T_1\hspace{0.0cm}'}g_s^2(t) \,{\rm d} t\hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm}2 \cdot \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend dieser Aufteilung kann auch geschrieben werden:

$${E_{\rm B}}/{2} = s_0^2 \cdot T_1\hspace{0.0cm}' + E_2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}$$

$$E_{\rm 2} = \ \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t = s_0^2 \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\left ( 1 - \frac {t}{T_2\hspace{0.0cm}'}\right )^2 \,{\rm d} t = \ s_0^2 \cdot \left [ \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\,\,{\rm d} t- \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t \,\,{\rm d} t + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t^2 \,\,{\rm d} t\right ] = \\ = \ s_0^2 \cdot \left [ {T_2\hspace{0.0cm}'} - \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2}{2} + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^3}{3}\right ] = s_0^2 \cdot\frac {T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm}}{3} \hspace{0.05cm}.$$

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