Aufgaben:Aufgabe 2.9: Korrelationsdauer

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Doppler–Leistungsdichtespektrum und Zeitkorrelationsfunktion

Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh–Fadings durch das Jakes–Spektrum beschrieben. Mit dem Rayleigh–Parameter $\sigma = 2^{–0.5}$ (Wurzel aus $1/2$) gilt für dieses im Doppler–Frequenzbereich $|f_{\rm D}| ≤ f_{\rm D, \ max}$:

$${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{1}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left (\frac{f_{\rm D}}{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.05cm}.$$

Diese Funktion ist hier für $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$ (blaue Kurve) und für $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ (rote Kurve) dargestellt.

Die Funktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist die Fourierrücktransformierte des Doppler–Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_{\rm D}(f)$:

$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t ) = {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.$$

${\rm J}_0$ bezeichnet die Besselfunktion nullter Ordnung. Diese ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist unten skizziert, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.

Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich eine Kenngröße ableiten:

• Die Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler–LDS ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ und gibt dessen Streuung $\sigma_D$ an. Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes–Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz $\sigma_D^2$ nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert ${\rm E}[f_{\rm D}^2]$ ist. Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung $T_{\rm V}$ aus dem Verzögerungs–LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  ⇒  Aufgabe A2.7.
• Die Korrelationsdauer $T_{\rm D}$ bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ und gibt denjenigen $\Delta t$–Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte ihres Maximums (stets bei $\Delta t = 0$) abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ aus der Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  ⇒  Aufgabe A2.7.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme und das Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell.
• Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:

$$\int \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}} \hspace{0.15cm}{\rm d} u = -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u) \hspace{0.05cm}.$$

• Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung (${\rm J}_0$):

$${\rm J}_0(\pi/2) = 0.472\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(1.52) = 0.500\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(\pi) = -0.305\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm J}_0(2\pi) = 0.221 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Dopplerfrequenz im vorliegenden Beispiel zu?

	Die Doppler–WDF ist identisch mit dem Doppler–LDS.
	Die Doppler–WDF ist nur formgleich mit dem Doppler–LDS.
	Doppler–WDF und –LDS unterscheiden sich grundsätzlich.

2

Bestimmen Sie die Dopplerverbreiterungen $B_{\rm D}$.

$f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm D} \ = \ $ $\ \rm Hz$

$f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm D} \ = \ $ $\ \rm Hz$

3

Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für $\Delta t = 5 \ \rm ms$?

$f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ $

$f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ $

4

Wie groß sind die Korrelationsdauern für beide Parametersätze?

$f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm D} \ = \ $ $\ \rm ms$

$f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm D} \ = \ $ $\ \rm ms$

5

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ und der Korrelationsdauer $T_{\rm D}$, ausgehend vom Jakes–Spektrum?

	$B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} \approx 1$,
	$B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} \approx 0.5$,
	$B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} \approx 0.171$.

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