Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes: Unterschied zwischen den Versionen
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*Es können ''e'' =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und ''t'' = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ . | *Es können ''e'' =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und ''t'' = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ . | ||
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Version vom 24. November 2017, 14:32 Uhr
Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im n–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge n = 3:
- $$\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\\ x_i \hspace{-0.15cm} \in \hspace{-0.15cm} \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$
Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
- Das Informationswort u = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k}) wird eindeutig in das Codewort x = (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) überführt.
- Die Coderate beträgt R = k/n.
- Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}$(x, x') zwischen zwei Codeworten x ∈ C und x' ∈ C gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich x und x' unterscheiden.
- Die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = min [$d_{\rm H}$(x, x')] ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
- Es können e =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und t = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ .
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Zielsetzung_der_Kanalcodierung. Zusätzlich werden einige einfache Fragen zu eispiele_binärer_Blockcodes vorweg genommen.
Fragebogen
Musterlösung
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