Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. November 2017, 15:02 Uhr

Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im n–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge n = 3:

$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\\ x_i \hspace{-0.15cm} \in \hspace{-0.15cm} \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

Allgemein gilt bei der Blockcodierung:

Das Informationswort u = $(u_{1}, u_{2}, ... , u_{k})4 wird eindeutig in das Codewort x = $(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$ überführt. *Die Coderate beträgt R = k/n. *Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}$(x, x') zwischen zwei Codeworten x ∈ C und x' ∈ C gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich x und x' unterscheiden. *Die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = min [$d_{\rm H}$(x, x')] ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes. *Es können ''e'' =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und ''t'' = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ . ''Hinweis'': Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung_der_Kanalcodierung]]. Zusätzlich werden einige einfache Fragen zu [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|eispiele_binärer_Blockcodes]] vorweg genommen. ==='"`UNIQ--h-0--QINU`"'Fragebogen=== '"`UNIQ--quiz-00000002-QINU`"' ==='"`UNIQ--h-1--QINU`"'Musterlösung=== '"`UNIQ--html-00000003-QINU`"' '''(1)''' Richtig sind die Aussagen 1 und 3: k = 3 Informationsbits werden bei dieser Belegung auf n = 3 Codebits abgebildet ⇒ R = k/n = 1. Die Aussage <>x = <>u würde nur bei systematischer Codierung gelten. Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch (0, 0, 0) → (0, 1, 1). Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 1. '''(2)''' [[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes]] $C_{1}$ und $C_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate R = 2/3 und der Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 2 ⇒ Antwort 1 und 2. In nebenstehender Grafik markieren die grünen Punkte den Code $C_{1}$ und die blauen Punkte den Code $C_{2}$. Beim angegebenen Code $C_{3}$ – ebenfalls mit Rate R = 2/3 – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min}$ = 1, zum Beispiel zwischen (0, 0, 0) und (1, 0, 0) oder auch zwischen (0, 1, 1) und (1, 1, 1).

(3)

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 Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
-*Das Informationswort <u>u</u> = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k}) wird eindeutig in das Codewort <u>x</u> = (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) überführt.
+*Das Informationswort <u>u</u> = $(u_{1}, u_{2}, ... , u_{k})4 wird eindeutig in das Codewort <u>x</u> = $(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$ überführt.
 *Die Coderate beträgt R = k/n.
 *Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}$(<u>x</u>,<u> x'</u>) zwischen zwei Codeworten <u>x</u> ∈ C und <u>x'</u> ∈ C gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich x und x' unterscheiden.
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 '''(2)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes]]
-C1 und C2 beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate R = 2/3 und der Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 2   ⇒  <u>Antwort 1 und 2.</u>
+$C_{1}$ und $C_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate R = 2/3 und der Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 2   ⇒  <u>Antwort 1 und 2.</u>
-In nebenstehender Grafik markieren die grünen Punkte den Code C1 und die blauen Punkte den Code C2. Beim angegebenen Code C3 – ebenfalls mit Rate R = 2/3 – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten dmin = 1, zum Beispiel zwischen (0, 0, 0) und (1, 0, 0) oder auch zwischen (0, 1, 1) und (1, 1, 1).
+In nebenstehender Grafik markieren die grünen Punkte den Code $C_{1}$ und die blauen Punkte den Code $C_{2}$. Beim angegebenen Code $C_{3}$ – ebenfalls mit Rate R = 2/3 – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min}$ = 1, zum Beispiel zwischen (0, 0, 0) und (1, 0, 0) oder auch zwischen (0, 1, 1) und (1, 1, 1).