Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

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BEEC und dessen Bezug zum AWGN–Modell

Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:

• Binary Symmetric Channel(BSC),
• Binary Erasure Channel(BEC),
• Binary Symm. Error & Erasure Ch.(BSEC).

Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich auch die beiden anderen Kanalmodelle ableiten:

• Mit λ = 0 ergibt sich das BSC–Modell.
• Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.

Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanal- modell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm n gilt: $y_{\rm A}$ = x̃ + n.

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt x̃ = +1, falls x = 0, und x̃ = –1, falls x = 1.

Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße y $\in$ {0, 1, E}, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen G0 und G1 benötigt.

y = E (Erasure) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder y = 0 noch y = 1 gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer Auslöschung.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen. Die Streuung des AWGN–Rauschens n wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma$ = 0.4 angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße n größer ist als A oder kleiner als –A, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral Q(x) wie folgt:

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$

Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:

$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich. Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^-4$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.

Fragebogen

1

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei G = 0.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei ±G.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

2

Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ mit $sigma$ = 0.4?

$\varepsilon \ = \ $ %

3

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht ein BSEC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei G = 0.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei ±G.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

4

Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei ±0.2?

$\varepsilon \ = \ $ %

$\lambda \ = \ $ %

5

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.

	Eine Entscheiderschwelle bei G = 0.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei ±G.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

6

Berechnen Sie den BEC–Parameter $\lambda$ für Entscheiderschwellen bei ±0.6.

$\lambda \ = \ $ %

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist die Antwort 1. Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle. Wegen der Eigenschaft Symmetric liegt diese bei G = 0.

(2)  Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ größer ist als 1 oder kleiner ist als –1, ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma). {\rm Mit} \ \sigma= 0.4$ folgt daraus $\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}$.

(3)  Richtig ist hier die Antwort 2. Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete: je eines für die Symbole 0 und 1 und ein weiteres für Erasure (E: keine Entscheidung möglich). Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um 0 liegen müssen. Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole 0 und 1.

(4)  Es gelte $y_{\rm A}$ = x̃ + n. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm

• n > +1.2, falls x̃ = –1 ⇒ x = 1,
• n < –1.2, falls x̃ = +1 ⇒ x = 0.

In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = Q(1.2/0.4) = Q(3) $<u>= 0.14 %</u>$. Ein Erasure (keine Entscheidung) ergibt sich für –0.2 < $y_{\rm A}$ < +0.2. Ausgehend von x̃ = –1 gilt somit:

$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = $$

$$ \ \ \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(5) 

6. 7.