Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Umrechnungen von L–Wert und S–Wert

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Funktion $y = \tanh {(x)}$ in Tabellenform

Wir gehen von einer binären Zufallsgröße $x ∈ \{+1, \, –1\}$ mit folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

$${\rm Pr}(x =+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(x =-1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} q = 1-p\hspace{0.05cm}.$$

Die „Zuverlässigkeit” des Symbols $x$ kann ausgedrückt werden

• durch den $L$–Wert entsprechend der Definition

$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm},$$

• durch den so genannten $S$–Wert

$$S(x) = p- q \hspace{0.05cm}.$$

Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”.

Wie in Teilaufgabe (1) gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden.

Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen berechnet werden, wobei stets von der Codelänge $n = 3$ ausgegangen wird:

• der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol  ⇒  $L_{\rm E}(x_3)$,
• der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol  ⇒  $L_{\rm APP}(x_3)$.

Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen:

• dem Wiederholungscode  ⇒  RC (3, 1) mit der Nebenbedingung $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$,
• dem Single Parity–check Code  ⇒  SPC (3, 2) mit der Nebenbedingung $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
• Zur Lösung benötigen Sie den Tangens Hyperbolikus entsprechend folgender Definition:

$$y = {\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{+x/2} - {\rm e}^{-x/2}}{{\rm e}^{+x/2} + {\rm e}^{-x/2}} = \frac{1 - {\rm e}^{-x}}{1 + {\rm e}^{-x}} \hspace{0.05cm}.$$

1. Diese Funktion ist oben in Tabellenform angegeben.

• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S$–Wert und $L$–Wert?

	$S(x) = \tanh {(L(x))}$,
	$S(x) = \tanh {(L(x)/2)}$,
	$L(x) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(S(x))}$.

2

Betrachtet wird der (3, 1) Repetition Code. Für die Apriori–$L$–Werte gelte $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$?

$(3, \, 1) \ {\rm RC} \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

3

Wie groß ist in diesem Fall der Aposteriori–$L$–Wert für das Symbol $x_3$?

$(3, \, 1) \ {\rm RC} \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm APP}(x_3) \ = \ $

4

Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert beim (3, 2) Single Parity–check Code? Es gelte weiterhin $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$.

$(3, \, 2) \ {\rm SPC} \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

5

Die Apriori–Wahrscheinlichkeiten seien nun $0.3, \ 0.8$ und $0.9$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für den Repetition Code?

$(3, \, 1) \ {\rm RC} \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

6

Welcher extrinsische $L$–Wert ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen wie in (5) für den Single Parity–check Code?

$(3, \, 2) \ {\rm SPC} \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

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