Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5): Unterschied zwischen den Versionen
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:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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* das Kommutativ– und das Distributivgesetz, | * das Kommutativ– und das Distributivgesetz, | ||
* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation, | * die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation, | ||
Version vom 15. Dezember 2017, 09:48 Uhr
Additions– und Multiplikationstabelle für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$
Wie in Aufgabe A2.2 betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld
- $${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke. Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
- eine Additionstabelle modulo 5,
- eine Multiplikationstabelle modulo 5,
Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf Theorieseite 1 zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf
- das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
- die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
- die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie
- die Bestimmung primitiver Elemente.
Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels Einige Grundlagen der Algebra.
Fragebogen
Musterlösung
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(5)
