Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5): Unterschied zwischen den Versionen
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+ $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$. | + $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$. | ||
− | {Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge ${ | + | {Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben. |
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$a \ = \ ${ 3 3% } | $a \ = \ ${ 3 3% } |
Version vom 15. Dezember 2017, 09:58 Uhr
Wie in Aufgabe A2.2 betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld
- $${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke. Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
- eine Additionstabelle modulo 5,
- eine Multiplikationstabelle modulo 5,
Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf Theorieseite 1 zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf
- das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
- die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
- die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie
- die Bestimmung primitiver Elemente.
Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels Einige Grundlagen der Algebra.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
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