Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)

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Elemente von $\rm GF(2^3)$ bezüglich $p(x) = x^3 + x + 1$

Wir betrachten nun den Erweiterungskörper (englisch: Extension Field) mit den acht Elementen  ⇒  $\rm GF(2^3)$ entsprechend der nebenstehenden Tabelle. Da das zugrunde liegende Polynom

$$p(x) = x^3 + x +1 $$

sowohl irreduzibel als auch primitiv ist, kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:

$${\rm GF}(2^3) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm} \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$

Das Element $\alpha$ ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung $p(\alpha) = 0$ im Galoisfeld $\rm GF(2)$. Damit erhält man folgende Nebenbedingung:

$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$

Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:

$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha= \alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen in diesem Galoisfeld $\rm GF(2^3)$ vornehmen. Unter anderem ist gefragt nach der multiplikativen Inversen des Elementes $\alpha^4$. Dann muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Erweiterungskörper und ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren Aufgabe A2.5 gedacht.

Fragebogen

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