Aufgaben:Aufgabe 4.18Z: BER von kohärenter und nichtkohärenter FSK

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Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von
BPSK und BFSK

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für eine binäre  FSK–Modulation  (BFSK) bei

• kohärenter Demodulation bzw.
• inkohärenter Demodulation

im Vergleich zur binären Phasenmodulation (BPSK). Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex  $h$  ein Vielfaches von  $0.5$  sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying  (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex  $h$  ein Vielfaches von  $1$  sein.

Diesem Systemvergleich liegt der AWGN–Kanal zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei

• Binary Frequency Shift Keying  (BFSK) mit kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

• Binary Frequency Shift Keying  (BFSK) mit inkohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

• Binary Phase Shift Keying  (BPSK), nur kohärente Demodulation möglich:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Bei BPSK muss das logarithmierte Verhältnis  $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)$  mindestens  $9.6 \, \rm dB$  betragen, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $p_{\rm B} = 10^{\rm -5}$  nicht überschreitet.

Bei binären Modulationsverfahren kann  $p_{\rm B}$  auch durch  $p_{\rm S}$  und  $E_{\rm B}$  durch  $E_{\rm S}$  ersetzt werden. Dann spricht man von der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  und der Symbolenergie  $E_{\rm S}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodultion.
• Weitere Informationen finden Sie im Buch Modulationsverfahren.
• Verwenden Sie die Näherung  ${\rm lg}(2) \approx 0.3$.

Fragebogen

1

Welches  $E_{\rm B}/N_0$  ist bei FSK und  kohärenter Demodulation  erforderlich, damit die Forderung  $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm -5}$ erfüllt ist?

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

2

Sind die folgenden Aussagen richtig:   Das gleiche Ergebnis wie unter (1) erhält man für

	die kohärente FSK mit Modulationsindex  $\eta = 0.7$,
	die kohärente FSK mit Modulationsindex  $\eta = 1$.

3

Welches  $E_{\rm B}/N_0$  ist bei FSK mit Modulationsindex  $h = 1$  und  nichtkohärenter Demodulation  erforderlich, damit  $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm -5}$  erfüllt ist?

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

4

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$  für FSK und nichtkohärente Demodulation?

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Ein Vergleich der Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei binärer FSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird. In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 \cdot {\rm lg} \, (2) \approx 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm –5}$ zu garantieren, muss gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm} \underline{=12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
• Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
• Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK.
• Es kann gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt.
• Mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} \approx 10^{\rm –6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.

(3)  Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.09cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:

$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}\approx 8.4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.012 \%}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der nichtkohärenten Demodulation gegenüber der kohärenten Demodulation gemäß Teilaufgabe (1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.