Aufgaben:Aufgabe 1.16Z: Schranken für die Gaußsche Fehlerfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ | + | Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ ⇒ Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert $A$, ist gleich |
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] | + | Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): <br>die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] |
:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | ${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$. | + | ${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$. |
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| − | Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte: | + | Das Integral der ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte: |
| − | *die obere Schranke (obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0$ | + | *die obere Schranke $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0)$: |
:$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$ | :$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$ | ||
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| − | *die Chernoff–Rubin–Schranke (grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1$ | + | *die Chernoff–Rubin–Schranke $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1)$: |
:$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben. | + | In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben. |
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| − | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. | + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. |
| − | * Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]] für den AWGN–Kanal benötigt wird. | + | * Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]] für den AWGN–Kanal benötigt wird. |
| − | *Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet [[Applets: | + | *Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. |
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| − | {Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für $x = 4$? | + | {Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für $x = 4$? |
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${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $ { 3.346 3% }$\ \cdot 10^{-5} $ | ${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $ { 3.346 3% }$\ \cdot 10^{-5} $ | ||
${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $ { 3.137 3% }$\ \cdot 10^{-5} $ | ${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $ { 3.137 3% }$\ \cdot 10^{-5} $ | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die Funktionen ${\rm Q_{o}}(x)$ und ${\rm Q_{u}}(x)$? | + | {Welche Aussagen gelten für die Funktionen ${\rm Q_{o}}(x)$ und ${\rm Q_{u}}(x)$? |
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| − | + Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar. | + | + Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar. |
| − | + Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{u}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{u}}(x)< 0$ | + | + Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{u}}(x)$ unbrauchbar $($wegen ${\rm Q_{u}}(x)< 0)$. |
| − | - Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{o}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{o}}(x)> 1$ | + | - Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{o}}(x)$ unbrauchbar $($wegen ${\rm Q_{o}}(x)> 1)$. |
| − | {Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von ${\rm Q_{o}}(x)$? | + | {Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von ${\rm Q_{o}}(x)$? |
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${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $ { 5 3% } | ${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $ { 5 3% } | ||
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${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 ) \ = \ $ { 15 3% } | ${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 ) \ = \ $ { 15 3% } | ||
| − | {Bestimmen Sie $K$ so, dass $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ möglichst nahe bei ${\rm Q}(x)$ liegt und gleichzeitig ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für alle $x > 0$ eingehalten wird. | + | {Bestimmen Sie $K$ so, dass $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ möglichst nahe bei ${\rm Q}(x)$ liegt und gleichzeitig ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für alle $x > 0$ eingehalten wird. |
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$K \ = \ $ { 0.5 3% } | $K \ = \ $ { 0.5 3% } | ||
Version vom 14. Mai 2019, 16:51 Uhr
${\rm Q}(x)$ und verwandte Funktionen
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ ⇒ Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert $A$, ist gleich
- $${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet):
die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion
- $${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.
Das Integral der ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte:
- die obere Schranke $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0)$:
- $$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
- die untere Schranke $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für $x > 1)$:
- $$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
- die Chernoff–Rubin–Schranke $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1)$:
- $${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$
In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
- Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.16, in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der Bhattacharyya–Schranke für den AWGN–Kanal benötigt wird.
- Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die obere Schranke lautet:
- $${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
- $${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
- Die relativen Abweichungen betragen demzufolge $18.7\%$ bzw. $–11\%.$
- Die letzte Aussage ist falsch: Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$
(3) Für den Quotienten aus ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ und ${\rm Q_o}(x)$ gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
- $$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$
- Je größer der Abszissenwert $x$ ist, um so ungenauer wird ${\rm Q}(x)$ durch ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ angenähert.
- Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite hat man (hatte ich) den Eindruck, dass ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ sich aus ${\rm Q}(x)$ durch Verschieben nach unten bzw. Verschieben nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.
(4) Mit $\underline{K = 0.5}$ stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein. Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q \approx 1.25 · x$ nur halb so groß.
