Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm bei 3 Zuständen: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis $m$ gibt es $2^m$ Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis $m = 3$. | ||
| + | Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index $\mu$ aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$ festgelegt ist: | ||
| + | :$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l} | ||
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| + | Der Zustand $S_0$ ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand $S_1$ für „$100$” und der Zustand $S_7$ für „$111$”. | ||
| + | In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$ Platzhalter names $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$ verwendet. In den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht. | ||
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| + | * In [[Aufgaben:Aufgabe_3.7Z:_Welcher_Code_ist_katastrophal%3F| Aufgabe 3.7Z]] werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis $m = 3$ untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können. | ||
| + | *Bitte bei allen Fragen den ensprechenden ''Index'' $\mu$ eingeben. | ||
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| + | {Für welche Zustände $S_{\mu}$ stehen die Platzhalter $\mathbf{A}$ und $\mathbf{F}$? | ||
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| − | $\ | + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 0. } |
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| + | {Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes. | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 1 } | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 2 } | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 5 } | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 3 } | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 6 } | ||
| + | ${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 4 } | ||
| + | {Zu welchem Zustand $S_{\mu}$ geht der jeweils zweite Pfeil? | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | ${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 3 } | ||
| + | ${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 } | ||
| + | ${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 2 } | ||
| + | ${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 } | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | [[Datei:P_ID2668__KC_Z_3_6b_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen]] |
| − | '''2 | + | '''(1)''' Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ ⇒ $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$. |
| − | + | *Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt. | |
| − | + | *Vom Zustand $S_7$ ⇒ $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$. | |
| − | + | *Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$. | |
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| + | '''(2)''' Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen: | ||
| + | :$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$ | ||
| + | :$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$ | ||
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| + | *Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der <u>Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4</u>. | ||
| + | *Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$. | ||
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| + | '''(3)''' Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$. | ||
| + | [[Datei:P_ID2669__KC_Z_3_6c.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen]] | ||
| + | Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden: | ||
| + | * Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$. | ||
| + | * Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$. | ||
| + | * Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$. | ||
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| + | Einzugeben sind also die Indizes in der <u>Reihenfolge 3, 6, 2, 6</u>. | ||
| + | {{ML-Fuß}} | ||
| − | ^]] | + | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.3 Zustands– und Trellisdiagramm^]] |
Aktuelle Version vom 7. Juni 2019, 14:40 Uhr
Zustandsübergangsdiagramm für $m = 3$ (unvollständig)
Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis $m$ gibt es $2^m$ Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis $m = 3$.
Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index $\mu$ aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$ festgelegt ist:
- $$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$
Der Zustand $S_0$ ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand $S_1$ für „$100$” und der Zustand $S_7$ für „$111$”.
In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$ Platzhalter names $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$ verwendet. In den Teilaufgaben (1) und (2) sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.
Bei Faltungscodierer der Rate $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand $S_{\mu}$ zwei Pfeile ab,
- ein roter für das aktuelle Informationsbit $u_i = 0$ und
- ein blauer für $u_i = 1$.
Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:
- Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
- Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die $n$ Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
- In Aufgabe 3.7Z werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis $m = 3$ untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können.
- Bitte bei allen Fragen den ensprechenden Index $\mu$ eingeben.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte
Fragebogen
Musterlösung
Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen
(1) Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ ⇒ $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$.
- Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
- Vom Zustand $S_7$ ⇒ $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$.
- Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.
(2) Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$
- Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4.
- Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.
(3) Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$.
Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen
Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:
- Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
- Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
- Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
Einzugeben sind also die Indizes in der Reihenfolge 3, 6, 2, 6.
