Aufgaben:Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
K (Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “) |
|||
| (3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 5: | Zeile 5: | ||
[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png|250px|right|frame|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]] | [[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png|250px|right|frame|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]] | ||
| − | Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische | + | Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich: |
| − | *Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$. | + | *Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$. |
| − | *Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit ⇒ $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$. | + | *Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit ⇒ $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$. |
| − | *Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$. | + | *Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$. |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| Zeile 15: | Zeile 19: | ||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]]. |
| + | *Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] verdeutlicht die hier behandelte Thematik. | ||
| Zeile 26: | Zeile 31: | ||
$A\ = \ $ { 3 3% } $\text{V}$ | $A\ = \ $ { 3 3% } $\text{V}$ | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$? | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$f_1\ = \ $ { 5 3% } $\text{kHz}$ | $f_1\ = \ $ { 5 3% } $\text{kHz}$ | ||
$\varphi_1\ = \ $ { 0. } $\text{Grad}$ | $\varphi_1\ = \ $ { 0. } $\text{Grad}$ | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$? | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$f_2\ = \ $ { 10 3% } $\text{kHz}$ | $f_2\ = \ $ { 10 3% } $\text{kHz}$ | ||
$\varphi_2\ = \ $ { -91--89 } $\text{Grad}$ | $\varphi_2\ = \ $ { -91--89 } $\text{Grad}$ | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$? | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$f_3\ = \ $ { 10 3% } $\text{kHz}$ | $f_3\ = \ $ { 10 3% } $\text{kHz}$ | ||
$\varphi_3\ = \ $ { 60 3% } $\text{Grad}$ | $\varphi_3\ = \ $ { 60 3% } $\text{Grad}$ | ||
| − | {Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$? | + | {Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal $x_{3+}(t)$ erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$t_1\ = \ $ { 0.1 3% } $\text{ms}$ | $t_1\ = \ $ { 0.1 3% } $\text{ms}$ | ||
| − | {Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t = 0$? | + | {Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t = 0$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$t_2\ = \ $ { 0.033 3% } $\text{ms}$ | $t_2\ = \ $ { 0.033 3% } $\text{ms}$ | ||
| Zeile 54: | Zeile 59: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$. | + | '''(1)''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$. |
| − | |||
| − | '''(2)''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. Insgesamt ergibt sich | + | '''(2)''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. |
| + | *Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. | ||
| + | *Insgesamt ergibt sich | ||
:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
| Zeile 64: | Zeile 70: | ||
| − | '''(3)''' Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_2} = \text{j}$ ⇒ $\varphi_2 \; \underline{= | + | '''(3)''' Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$. |
| + | *Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$ ⇒ $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$. | ||
| + | *Somit lautet die Zeitfunktion: | ||
:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
| Zeile 70: | Zeile 78: | ||
\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$ | \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$ | ||
| − | Dieses Signal ist | + | Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann: |
| − | *Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil. | + | *Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil. |
| − | *Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$. Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$ | + | *Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$. |
| + | *Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$ und $0 \ \text{V}$. | ||
| − | '''(4)''' Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen (2) und (3) gelöst werden: $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}} | + | '''(4)''' Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen '''(2)''' und '''(3)''' gelöst werden: |
| + | :$$f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$ | ||
| − | '''(5)''' Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$. | + | '''(5)''' Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$. |
| − | '''(6)''' Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung: | + | '''(6)''' Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$. |
| + | *Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. | ||
| + | *Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung: | ||
:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
Aktuelle Version vom 4. Oktober 2019, 15:35 Uhr
Zeigerdiagramm einer Harmonischen
Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
- Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
- Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit ⇒ $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
- Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Das interaktive Applet Physikalisches Signal & Analytisches Signal verdeutlicht die hier behandelte Thematik.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.
(2) Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
- Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.
- Insgesamt ergibt sich
- $$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$
(3) Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$.
- Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$ ⇒ $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$.
- Somit lautet die Zeitfunktion:
- $$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$
Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
- Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
- Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
- Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$ und $0 \ \text{V}$.
(4) Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen (2) und (3) gelöst werden:
- $$f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$
(5) Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.
(6) Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.
- Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.
- Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:
- $$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V} .$$
