Aufgaben:Aufgabe 2.5: „Binomial” oder „Poisson”?: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt. | + | Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die (mindestens) alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt. |
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| − | {Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... ,$5$ begrenzt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe gleich $6$ ist bzw. größer als $6$ ist? | + | {Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... , $5$ begrenzt. <br>Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe exakt gleich $6$ ist bzw. größer als $6$ ist? |
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| − | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} = 6) \ =$ { 0.012 3% } | + | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} = 6) \ = \ $ { 0.012 3% } |
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| − | {Betrachten Sie nun die Binomialverteilung. Geben Sie deren charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ an. | + | {Betrachten Sie nun die Binomialverteilung. Geben Sie deren charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ an. |
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| − | {Wie groß ist damit der Parameter $I$ der Binomialverteilung? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit $\rm Pr(0)$. | + | {Wie groß ist damit der Parameter $I$ der Binomialverteilung? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit $\rm Pr(0)$. |
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'''(4)''' Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: | '''(4)''' Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: | ||
| − | $$\sigma^{2}= I\cdot p\cdot (1- p)= m_{\rm 1}\cdot ( 1- p).$$ | + | :$$\sigma^{2}= I\cdot p\cdot (1- p)= m_{\rm 1}\cdot ( 1- p).$$ |
| − | Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich | + | *Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich aus der Varianz $\sigma^2 = 1.095$ und dem Mittelwert $m_1 = 2$ gemäß der Gleichung: |
| − | $$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$ | + | :$$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$ |
| − | '''(5)''' Aus dem Mittelwert $m_1 = 2$ folgt weiterhin $\underline{I= 5}.$ Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: | + | '''(5)''' Aus dem Mittelwert $m_1 = 2$ folgt weiterhin $\underline{I= 5}.$ |
| − | $${\rm Pr}(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot p^{\rm 0}\cdot (1 - p)^{\rm 5-0}=0.6^5=0.078.$$ | + | *Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: |
| + | :$${\rm Pr}(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot p^{\rm 0}\cdot (1 - p)^{\rm 5-0}=0.6^5=0.078.$$ | ||
| − | Das bedeutet: <u> | + | *Das bedeutet: <u>Unsere Ergebnisse sind richtig</u>. |
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Aktuelle Version vom 13. November 2019, 15:28 Uhr
Kenngrößen von $z_1$ und $z_2$
Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die (mindestens) alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.
Weiterhin ist bekannt, dass
- eine der Größen binomialverteilt ist, und
- die andere eine Poissonverteilung beschreibt.
Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Größen $(z_1$ oder $z_2)$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Poissonverteilung.
- Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel Binomialverteilung.
- Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet Binomial– und Poissonverteilung benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Bei der Poissonverteilung sind Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$ gleich.
- Die Zufallsgröße $z_1$ erfüllt diese Bedingung im Gegensatz zur Zufallsgröße $z_2$.
(2) Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate. Deshalb muss $\underline{\lambda = 2}$ gelten.
(3) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet mit $z_{\rm Poisson} = z_1$:
- $${\rm Pr}(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.012}$$
- $${\rm Pr}(z_1 > 6)=1 -{\rm Pr}(0) -{\rm Pr}(1) - \ \text{...} \ - {\rm Pr}(6)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.004}.$$
(4) Für die Varianz der Binomialverteilung gilt:
- $$\sigma^{2}= I\cdot p\cdot (1- p)= m_{\rm 1}\cdot ( 1- p).$$
- Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich aus der Varianz $\sigma^2 = 1.095$ und dem Mittelwert $m_1 = 2$ gemäß der Gleichung:
- $$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$
(5) Aus dem Mittelwert $m_1 = 2$ folgt weiterhin $\underline{I= 5}.$
- Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten:
- $${\rm Pr}(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot p^{\rm 0}\cdot (1 - p)^{\rm 5-0}=0.6^5=0.078.$$
- Das bedeutet: Unsere Ergebnisse sind richtig.
