Aufgaben:Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden sollen. | Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden sollen. | ||
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$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$ | $\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$ | ||
Version vom 5. Dezember 2019, 15:32 Uhr
Drei Korrelationsmatrizen
Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix $\mathbf{K_x}$ der 2D–Zufallsgröße $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ angegeben, wobei $\sigma_1^2$ und $\sigma_2^2$ die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben. $\rho$ bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden sollen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
- Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix.
- Entsprechend der Seite Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
- $$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
- Insbesondere ist zu beachten:
- Eine $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$.
- Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren $\xi_1$ und $\xi_2$.
- Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- $\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
- Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.
(2) In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
- $${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 0 \\ 0 & 1- \lambda \end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} (1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$
(3) Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
- $$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
- Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
- Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.
- Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$ ⇒ siehe Teilaufgabe (2).
- Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.
(4) Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
- $$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1+\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1+\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc} -\rho & \rho \\ \rho & -\rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{11} \\ \eta_{12} \end{array} \right]=0$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot \eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}= {\rm const} \cdot \eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right];$$
- $$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1-\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1-\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc} \rho & \rho \\ \rho & \rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{21} \\ \eta_{22} \end{array} \right]=0$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot \eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}= -{\rm const} \cdot \eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$
Zur Drehung des Koordinatensystems
Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:
- $${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right],\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$
In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
- Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
- Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme: $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.
- Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
- $$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})= {1}/{2}\cdot \arctan (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
- Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.
(5) Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man
- $\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
- $\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
- $\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.
(6) Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:
- $$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1} =5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
(7) Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:
- $$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \cdot 1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) = 26.56^\circ.$$
Bestmögliche Dekorrelation
Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:
- $$\left[ \begin{array}{cc} 4-5 & 2 \\ 2 & 1-5 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \zeta_{11} \\ \zeta_{12} \end{array} \right]=0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}= 2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan ({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:
- Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.
- Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.
- Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),
- während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
