Aufgaben:Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale in den beiden Zweigen der MSK]] | + | [[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale <br>in den beiden Zweigen der MSK]] |
| − | Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil hervorgeht. | + | Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' $\rm (MSK)$ bietet die $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil hervorgeht. |
| − | *Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen. | + | *Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen. |
| − | *Diese Umcodierung wird in der [[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK| | + | *Diese Umcodierung wird in der [[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Aufgabe 4.14Z]] eingehend behandelt. |
| − | Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls | + | Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls |
| − | :$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos ( | + | :$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ |
| − | Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] im Buch „Signaldarstellung”: | + | Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert. |
| − | :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$ | + | |
| − | mit dem Betrag | + | Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] im Buch „Signaldarstellung”: |
| + | :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | *mit dem Betrag | ||
:$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$ | :$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$ | ||
| − | und der Phase | + | *und der Phase |
:$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu | Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu | ||
:$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]]. |
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| − | *Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist. | + | *Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{TP}(t)|$ der MSK? | + | {Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{\rm TP}(t)|$ der MSK? |
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- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig. | - Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig. | ||
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+ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge. | + Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge. | ||
| − | {Es gelte $T = 1 \ \rm | + | {Es gelte $T = 1 \ \rm µs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall $0 ≤ t ≤ T$. |
| + | <br>Welche Phasenwerte ergeben sich für $t = T/2$ und $t = T$? | ||
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$ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$ | $ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$ | ||
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| − | {Bestimmen Sie die Phasenwerte bei $t = 2T$, $t = 3T$ und $t = 4T$. | + | {Bestimmen Sie die Phasenwerte bei $t = 2T$, $t = 3T$ und $t = 4T$. |
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$ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ | $ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ | ||
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| − | $ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4-- | + | $ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$ |
| − | {Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von $0$ bis $8T$. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden | + | {Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von $0$ bis $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeitpunkten? |
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| − | $ϕ(8T) \ = \ { 0. } $\ \rm Grad$ | + | $ϕ(t = 8T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
| − | $$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | + | *Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt, dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist: |
| − | + | :$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | |
| + | *Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch. | ||
| + | *Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$ und $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$. | ||
| + | *Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist. | ||
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| + | '''(2)''' Mit der angegebenen Gleichung gilt: | ||
| + | :$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält: | ||
| + | :$$\phi(t) = \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ | ||
| + | \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ]= \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T} | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$: | ||
| + | :$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm µ s}) = {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm µ s}) = {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ} | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(3)''' Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises: | ||
| + | :$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$ | ||
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| + | :$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm µ s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm µ s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist. | ||
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| + | '''(4)''' Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt: | ||
| + | * Beim Symbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ an. | ||
| + | * Beim Symbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ ab. | ||
| − | Die weiteren Phasenwerte sind somit: | + | *Die weiteren Phasenwerte sind somit: |
| − | $$\phi(5T | + | :$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$ |
| + | :$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 24. April 2020, 10:48 Uhr
Quellensignal und Tiefpass–Signale
in den beiden Zweigen der MSK
in den beiden Zweigen der MSK
Eine Realisierungsmöglichkeit für Minimum Shift Keying $\rm (MSK)$ bietet die $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem Blockschaltbild im Theorieteil hervorgeht.
- Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen.
- Diese Umcodierung wird in der Aufgabe 4.14Z eingehend behandelt.
Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
- $$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert.
Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion im Buch „Signaldarstellung”:
- $$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$
- mit dem Betrag
- $$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
- und der Phase
- $$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$
Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
- $$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Realisierung der MSK als Offset-QPSK.
- Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt, dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist:
- $$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
- Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$ und $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
- Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.
(2) Mit der angegebenen Gleichung gilt:
- $$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:
- $$\phi(t) = \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ]= \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$
- Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:
- $$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm µ s}) = {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm µ s}) = {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:
- $$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
- $$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK
- $${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm µ s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$
- Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm µ s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.
(4) Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt:
- Beim Symbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ an.
- Beim Symbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ ab.
- Die weiteren Phasenwerte sind somit:
- $$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
- $$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
