Aufgaben:Aufgabe 2.7Z: Kohärenzbandbreite des LZI–Zweiwegekanals: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell}}
  
[[Datei:P_ID2178__Mob_Z_2_7.png|right|frame|Zweiwegekanäle]]
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[[Datei:P_ID2178__Mob_Z_2_7.png|right|frame|Zwei Zweiwegekanäle]]
Zum GWSSUS–Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung $\tau$ statistisch erfassen. Mehr Informationen zum Thema „Mehrwegeausbreitung” finden Sie auf [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Seite 8]] des Theorieteils.
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Zum GWSSUS–Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung  $\tau$  statistisch erfassen.  Mehr Informationen zum Thema „Mehrwegeausbreitung” finden Sie im Abschnitt  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell]]  des Theorieteils.
* Die <b>Mehrwegeverbreiterung</b> $T_{\rm V}$ ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße $\tau$. Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ ermittelt werden. Die WDF $f_{\rm V}(\tau)$ ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist.  
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* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße &nbsp;$\tau$. <br>Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$.  
* Die <b>Kohärenzbandbreite</b> $B_{\rm K}$ beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. Diese ist implizit durch die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ festgelegt als derjenige $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
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* Die &nbsp;<b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. <br>Diese ist implizit durch die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; festgelegt als derjenige&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} \frac{1}{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.$$
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:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.$$
  
Der Zusammenhang zwischen ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ und $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ist durch die Fouriertransformation gegeben:
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Der Zusammenhang zwischen&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; ist durch die Fouriertransformation gegeben:
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
 
  \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
  
Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet. Beispielsweise verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik) oft als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
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*Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet.  
:$$B_{\rm K}\hspace{0.05cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$
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*Oft verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal&nbsp; (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik)&nbsp; als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
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:$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$
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In dieser Aufgabe soll geklärt werden,
 
In dieser Aufgabe soll geklärt werden,
 
* warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
 
* warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
* welcher Zusammenhang zwischen $B_{\rm K}$ und $B_{\rm K}'$ besteht, und
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* welcher Zusammenhang zwischen&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; besteht,&nbsp; und
 
* welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.
 
* welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.
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''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe bezieht sich auf einige Theorieseiten im Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]] und im Kapitel[[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Bezug genommen  wird auch auf einige Theorieseiten im Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen ergeben sich für Kanal A und B?
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{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergeben sich für den Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; und den Kanal &nbsp;$\rm B$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Kanal \ A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
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Kanal &nbsp;${\rm A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
${\rm Kanal \ B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
+
Kanal &nbsp;${\rm B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
  
{Wie lautet die WDF $f_{\rm V}(\tau)$? $G$ gibt das Gewicht des zweiten Pfades an.  
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{Wie lautet die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$?&nbsp; Hierbei gibt&nbsp; $G$&nbsp; das Gewicht des zweiten Pfades an.  
|type="[]"}
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|type="()"}
 
- $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 
- $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 
- $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 
- $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 
+ $f_{\rm V}(\tau) = 1/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau) + G^2/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$.
 
+ $f_{\rm V}(\tau) = 1/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau) + G^2/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$.
  
{Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung.
+
{Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung&nbsp; $ T_{\rm V}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Kanal \ A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm \mu s$
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Kanal &nbsp;${\rm A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm &micro; s$
${\rm Kanal \ B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm \mu s$
+
Kanal &nbsp;${\rm B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm &micro; s$
  
{Welche Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ weist der Kanal A auf?
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{Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm A}$&nbsp; auf?
|type="[]"}
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|type="()"}
+ Es gilt $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
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+ Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
- Es gilt $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
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- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
- Es gilt $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
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- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
- $B_{\rm K}$ ist nach dieser Definition nicht angebbar.
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- $B_{\rm K}$&nbsp; ist nach dieser Definition nicht angebbar.
  
{Welche Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ weist der Kanal B auf?
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{Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm B}$&nbsp; auf?
|type="[]"}
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|type="()"}
- Es gilt $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
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- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
- Es gilt $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
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- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
- Es gilt $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
+
- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
+ $B_{\rm K}$ ist nach dieser Definition nicht angebbar.
+
+ $B_{\rm K}$&nbsp; ist nach dieser Definition nicht angebbar.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt Laufzeitdifferenz $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, &ndash; \tau_{\rm min} = 1 \ \rm \mu s$. Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert $B_{\rm K}' \ \underline {= 1000 \ \rm kHz}$.
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'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, - \tau_{\rm min} = 1 \ \rm &micro; s$.
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* Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert:
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:$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ \underline {= 1000 \ \rm kHz}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Grafiken beziehen sich auf die Impulsantwort $h(\tau)$. Um das Verzögerungs&ndash;LDS zu erhalten, müssen die Gewichte quadriert werden:
+
 
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'''(2)'''&nbsp; Die Grafiken beziehen sich auf die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$.  
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*Um das Verzögerungs&ndash;LDS zu erhalten, müssen die Gewichte quadriert werden:
 
:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = 1^2 \cdot \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = 1^2 \cdot \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
  
Das Integral über ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist demnach $1 + G^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) muss aber die &bdquo;Fläche 1&rdquo; ergeben (Summe der beiden Diracgewichte gleich $1$). Daraus folgt:
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*Das Integral über&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist demnach&nbsp; $1 + G^2$.  
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*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; muss aber die &bdquo;Fläche 1&rdquo; ergeben&nbsp; $($Summe der beiden Diracgewichte gleich&nbsp; $1)$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{1}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau) + \frac{G^2}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{1}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau) + \frac{G^2}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impuls $h(\tau)$. Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs&ndash;LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ an.
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*Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.  
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*Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$.  
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*Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; an.
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'''(3)'''&nbsp; Beim Kanal A sind die beiden Impulsgewichte gleich. Damit kann für den Mittelwert $m_{\rm V}$ und die Standardabweichung $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$ ohne große Rechnung geschrieben werden:
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'''(3)'''&nbsp; Beim Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; sind die beiden Impulsgewichte gleich.  
:$$m_{\rm V} = \frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm} {= 0.5\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},
+
*Damit kann für den Mittelwert&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; und die Standardabweichung&nbsp; $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$&nbsp; ohne große Rechnung geschrieben werden:
  \hspace{0.2cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} =\frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm \mu s}}
+
:$$m_{\rm V} = \frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm} {= 0.5\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm},
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  \hspace{0.2cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} =\frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm &micro; s}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
Beim Kanal B sind die Impulsgewichte $1/(1+0.5^2) = 0.8$ (für $\tau = 0$) und $0.2$ (für $\tau = 1 \ \rm \mu s$). Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den grundlegenden [[Gesetzen]] der Statistik:
+
Beim Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; sind die Impulsgewichte&nbsp; $1/(1+0.5^2) = 0.8$&nbsp; $($für&nbsp; $\tau = 0)$&nbsp; und&nbsp; $0.2$&nbsp; $($für&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s)$.
:$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm \mu s} = 0.2\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},$$
+
* Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|grundlegenden Gesetzen]]&nbsp; der Statistik:
:$$m_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot (1\,{\rm \mu s})^2 = 0.2\,({\rm \mu s})^2 \hspace{0.05cm}.$$
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:$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm &micro; s} = 0.2\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
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m_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot (1\,{\rm &micro; s})^2 = 0.2\,({\rm &micro; s})^2 \hspace{0.05cm}.$$
  
Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]].
+
*Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]]:
:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm \mu s})^2 - (0.2\,{\rm \mu s})^2 = 0.16\,({\rm \mu s})^2
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:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm &micro; s})^2 - (0.2\,{\rm &micro; s})^2 = 0.16\,({\rm &micro; s})^2
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
+
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die Frequenzkorrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, &ndash; \tau_0)$:
+
 
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'''(4)'''&nbsp; Die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, - \tau_0)$:
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = 1 + {\rm exp}(-{\rm j} \cdot 2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) = 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) $$
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = 1 + {\rm exp}(-{\rm j} \cdot 2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) = 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) $$
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[[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|right|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = \sqrt{2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = \sqrt{2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.05cm}.$$
  
Das Funktionsmaximum bei $\Delta f = 0$ ist gleich $2$. Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für $B_{\rm K}$:
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*Das Funktionsmaximum bei&nbsp; $\Delta f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; $2$.  
:$$|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})| = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})|^2 = 1
+
*Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $B_{\rm K}$:
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:$$|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})| = 1 \hspace{0.3cm} $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})|^2 = 1
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = 1$$
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = 1$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
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*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.&nbsp; Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
  
Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
 
  
[[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|center|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
 
  
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'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal &nbsp;${\rm B}$&nbsp; lauten die entsprechenden Gleichungen:
 +
:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
 +
\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}= \sqrt{\frac{17}{16} +  \frac{1}{2} \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal B lauten die entsprechenden Gleichungen:
+
*Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die&nbsp; $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist.  
:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},$$
+
*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
 
:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}= \sqrt{\frac{17}{16} +  \frac{1}{2} \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
 
  
Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
 
  
 
Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:
 
Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:
* die $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite ($B_{\rm K, \ 90\%}$ wäre hier $184 \ \rm kHz$),
+
* die&nbsp; $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite&nbsp; $($im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz)$,
* die vorne angegebene sehr einfache Näherung $B_{\rm K}'$ (im Beispiel $1 \ \rm MHz$).
+
* die vorne angegebene sehr einfache Näherung&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; wäre&nbsp; $($im Beispiel&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz)$.
  
  
Man erkennt bereits an diesen Zahlenwerten, dass alle diesbezüglichen Angaben sehr vage sind und sich die einzelnen &bdquo;Kohärenzbandbreiten&rdquo; um Faktoren unterscheiden können.
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Man erkennt bereits an diesen doch sehr unterschiedlichen Zahlenwerten, dass alle diesbezüglichen Angaben sehr vage sind und sich die einzelnen &bdquo;Kohärenzbandbreiten&rdquo; um Faktoren unterscheiden können.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 4. Juni 2020, 16:32 Uhr

Zwei Zweiwegekanäle

Zum GWSSUS–Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung  $\tau$  statistisch erfassen.  Mehr Informationen zum Thema „Mehrwegeausbreitung” finden Sie im Abschnitt  Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell  des Theorieteils.

  • Die  Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße  $\tau$.
    Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte  $f_{\rm V}(\tau)$  ermittelt werden.  Die WDF  $f_{\rm V}(\tau)$  ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$.
  • Die  Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich.
    Diese ist implizit durch die Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  festgelegt als derjenige  $\Delta f$–Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.$$

Der Zusammenhang zwischen  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  und  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  ist durch die Fouriertransformation gegeben:

$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
  • Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet.
  • Oft verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal  (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik)  als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$


In dieser Aufgabe soll geklärt werden,

  • warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
  • welcher Zusammenhang zwischen  $B_{\rm K}$  und  $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$  besteht,  und
  • welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Kohärenzbandbreitennäherungen  $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$  ergeben sich für den Kanal  $\rm A$  und den Kanal  $\rm B$?

Kanal  ${\rm A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ $

$\ \rm kHz$
Kanal  ${\rm B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ $

$\ \rm kHz$

2

Wie lautet die WDF  $f_{\rm V}(\tau)$?  Hierbei gibt  $G$  das Gewicht des zweiten Pfades an.

$f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G \cdot \delta(\tau \, –\tau_0)$,
$f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau \, –\tau_0)$,
$f_{\rm V}(\tau) = 1/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau) + G^2/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau \, –\tau_0)$.

3

Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung  $ T_{\rm V}$.

Kanal  ${\rm A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$
Kanal  ${\rm B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$

4

Welche Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  weist der Kanal  ${\rm A}$  auf?

Es gilt  $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
Es gilt  $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
Es gilt  $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
$B_{\rm K}$  ist nach dieser Definition nicht angebbar.

5

Welche Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  weist der Kanal  ${\rm B}$  auf?

Es gilt  $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
Es gilt  $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
Es gilt  $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
$B_{\rm K}$  ist nach dieser Definition nicht angebbar.


Musterlösung

(1)  Bei beiden Kanälen beträgt die Laufzeitdifferenz  $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, - \tau_{\rm min} = 1 \ \rm µ s$.

  • Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert:
$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ \underline {= 1000 \ \rm kHz}.$$


(2)  Die Grafiken beziehen sich auf die Impulsantwort  $h(\tau)$.

  • Um das Verzögerungs–LDS zu erhalten, müssen die Gewichte quadriert werden:
$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = 1^2 \cdot \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Integral über  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  ist demnach  $1 + G^2$.
  • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  muss aber die „Fläche 1” ergeben  $($Summe der beiden Diracgewichte gleich  $1)$.  Daraus folgt:
$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{1}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau) + \frac{G^2}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist somit nur der Lösungsvorschlag 3.
  • Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF  $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impulsantwort  $h(\tau)$.
  • Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs–LDS  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  an.



(3)  Beim Kanal  $\rm A$  sind die beiden Impulsgewichte gleich.

  • Damit kann für den Mittelwert  $m_{\rm V}$  und die Standardabweichung  $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$  ohne große Rechnung geschrieben werden:
$$m_{\rm V} = \frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm} {= 0.5\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} =\frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$

Beim Kanal  $\rm B$  sind die Impulsgewichte  $1/(1+0.5^2) = 0.8$  $($für  $\tau = 0)$  und  $0.2$  $($für  $\tau = 1 \ \rm µ s)$.

  • Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den  grundlegenden Gesetzen  der Statistik:
$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm µ s} = 0.2\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} m_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot (1\,{\rm µ s})^2 = 0.2\,({\rm µ s})^2 \hspace{0.05cm}.$$
$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm µ s})^2 - (0.2\,{\rm µ s})^2 = 0.16\,({\rm µ s})^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Frequenz–Korrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, - \tau_0)$:

$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = 1 + {\rm exp}(-{\rm j} \cdot 2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) = 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) $$
Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = \sqrt{2 + 2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Funktionsmaximum bei  $\Delta f = 0$  ist gleich  $2$.
  • Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für  $B_{\rm K}$:
$$|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})| = 1 \hspace{0.3cm} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})|^2 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2 + 2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = 1$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.  Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.


(5)  Für den Kanal  ${\rm B}$  lauten die entsprechenden Gleichungen:

$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}= \sqrt{\frac{17}{16} + \frac{1}{2} \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
  • Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die  $50\%$–Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist.
  • Richtig ist also der Lösungsvorschlag 4.


Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:

  • die  $90\%$–Kohärenzbandbreite  $($im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz)$,
  • die vorne angegebene sehr einfache Näherung  $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$  wäre  $($im Beispiel  $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz)$.


Man erkennt bereits an diesen doch sehr unterschiedlichen Zahlenwerten, dass alle diesbezüglichen Angaben sehr vage sind und sich die einzelnen „Kohärenzbandbreiten” um Faktoren unterscheiden können.