Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 09:03 Uhr

Verlauf der Besselfunktionen

Wir betrachten das komplexe Signal

$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.

Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$:

$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$

$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man:

$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$

Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:

$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet Besselfunktion erster Art benutzen.

Fragebogen

	$x(t)$ ist für alle Zeiten $t$ imaginär.
	$x(t)$ ist periodisch.
	Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das Fourierintegral.

	Alle $D_n$ sind gleich ${\rm J}_η(0)$.
	Es gilt $D_n = {\rm J}_n(η)$.
	Es gilt $D_n = -{\rm J}_η(n)$.

	Alle $D_n$ sind rein reell.
	Alle $D_n$ sind rein imaginär.

$D_2 \ = \ $

$D_3 \ = \ $

$D_{-2} \ = \ $

$D_{-3} \ = \ $

Musterlösung

(1) Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.
Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist ⇒ Antwort 1 ist falsch.
Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:

$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Signal ist periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.

(2) Die Fourierkoeffizienten lauten:

$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:

$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$

Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.

(3) Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:

$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha + \frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von $\alpha$:

$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:

$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:

$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.

(4) Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:

$$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$

$$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:

$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$

$$D_{–3} = -D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|frame|Verlauf der Besselfunktionen]]
 Wir betrachten das komplexe Signal
-$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
+:$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
-Beispielsweise kann man das äquivalente TP–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.
+Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.
-Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$:
-$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
-$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int\limits_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausgedrückt werden:
-$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man:
-$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
-$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
-Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:
-$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite '''Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung'''.
+*Die Fourierreihendarstellung lautet mit &nbsp;$T_0 = 2π/ω_0$:
-Sie können auch folgendes Interaktionsmodul nutzen:
+:$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
+:$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
+*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und&nbsp; $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
+:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
+*Diese sind in der Grafik im Bereich &nbsp;$0 ≤ η ≤ 5$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Für negative Werte von &nbsp;$n$&nbsp; erhält man:
+:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
+*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
+:$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
+*Sind die Funktionswerte für &nbsp;$n = 0$&nbsp; und &nbsp;$n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:
+:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
-Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung
-'''Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung:'''
-Diese von dem Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel 1844 eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert:
-$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Berechnung einer Besselfunktion ist allerdings die Reihendarstellung besser geeignet:
-$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
-Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:
-$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
-Die nachfolgende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden (k = 0, 1, 2) dieser Reihen.
-[[Datei:P_ID1078__Mod_T_3_1_A1.png|right|]]
-Der grau hinterlegte Term – gültig für $n = 3$ und $k = 2$ – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:
-$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\eta/2)^7 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form. Sie können auch mit dem nachfolgenden Berechnungsmodul ermittelt werden:
-Werte der Besselfunktion erster Art
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Eigenschaften besitzt das Signal x(t)?
+{Welche Eigenschaften besitzt das Signal &nbsp;$x(t)$?
 |type="[]"}
-- $x(t)$ ist für alle Zeiten t imaginär.
+- $x(t)$&nbsp; ist für alle Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; imaginär.
-+ x(t) ist für alle Zeiten t imaginär.
++ $x(t)$&nbsp; ist periodisch.
-- Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das fourierintegral
+- Die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; erhält man über das Fourierintegral.
-{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten $D_n$ mit den Besselfunktionen erster Art. Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
+{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.&nbsp; Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
 |type="[]"}
-- Alle $D_n$ sind gleich $J_η(0)$.
+- Alle &nbsp;$D_n$&nbsp; sind gleich &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
-+ Es gilt $D_n = J_n(η)$.
++ Es gilt &nbsp;$D_n = {\rm J}_n(η)$.
-- Es gilt $D_n = –J_η(n)$.
+- Es gilt &nbsp;$D_n = -{\rm J}_η(n)$.
 { Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+  Alle $D_n$ sind rein reell.
++  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein reell.
--  Alle $D_n$ sind rein imaginär.
+-  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein imaginär.
-{Für $η = 2$ lauten die Koeffizienten $D_0 = 0.224$ und $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten $D_2$ und $D_3$.
+{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
 |type="{}"}
-$D_2$ = { 0.353 3% }
+$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }
-$D_3$ = { 0.129 3% }
+$D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }
-{Wie lauten die Fourierkoeffizienten $D_{–2}$ und $D_{–3}$ ?
+{Wie lauten die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_{-2}$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$ ?
 |type="{}"}
-$D_{–2}$ = { 0.353 3% }
+$D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }
-$D_{–3}$ = { -0.129 3% }
+$D_{-3} \ = \ $ { -0.133--0.125 }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' $x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$. Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:
+*$x(t)$&nbsp; ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit&nbsp; $t = 0$.
-$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =$$
+*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn&nbsp; $η ≥ π/2$&nbsp; ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
-$$ =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
+*Mit&nbsp; $T_0 = 2π/ω_0$&nbsp; gilt beispielsweise:
-Dieses Signal ist somit periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss deshalb die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden. Richtig ist also nur der zweite Lösungsvorschlag.
+:$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
+  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
+*Dieses Signal ist periodisch.&nbsp; Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.
+'''(2)'''&nbsp; Die Fourierkoeffizienten lauten:
+:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
+*Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution&nbsp; $α = ω_0 · t$&nbsp; erhält man:
+:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
+*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
-'''2.'''Die Fourierkoeffizienten lauten:
-$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:
-$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
-Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.
+'''(3)'''&nbsp; Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
+:$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +
+\frac{\rm  j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
+*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von&nbsp; $\alpha$:
+:$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
+  {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
+*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
+:$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
+  -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
+*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
+:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
+*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''3.'''Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
-$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +$$
-$$ +  \frac{ j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α:
-$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$
-$$=  {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
-$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$
-$$ =  -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
-$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.
-'''4.'''Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:
+'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für&nbsp; $η = 2$:
-$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
+:$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
-$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
-'''5.''' Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung ist $D{–2} = D_2 = 0.353$ und $D{–3} = – D_3 = –0.129$.
+'''(5)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
+:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
+:$$D_{–3} = -D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$