Applets:Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying

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Programmbeschreibung

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse”  $x(t)$  und die dazugehörigen Spektralfunktionen  $X(f)$, nämlich

• Gaußimpuls  (englisch:  Gaussian pulse),
• Rechteckimpuls  (englisch:  Rectangular pulse),
• Dreieckimpuls  (englisch:  Triangular pulse),
• Trapezimpuls  (englisch:  Trapezoidal pulse),
• Cosinus–Rolloff–Impuls  (englisch:  Cosine-rolloff pulse).

Weiter ist zu beachten:

• Die Funktionen  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
• Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
• Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $x(t)$  (Signalwerte) bzw.  $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

Theoretischer Hintergrund

On–Off–Keying mit kohärenter Demodulation

Das einfachste digitale Modulationsverfahren ist  On–Off–Keying  $\rm (OOK)$.  Dieses Verfahren wird teilweise auch als Amplitude Shift Keying  $\rm (2–ASK)$  bezeichnet und kann im äquivalenten Tiefpassbereich wie folgt charakterisiert werden:

Signalraumkonstellationen für On–Off–Keying

$\rm OOK$  ist ein binäres und eindimensionales Modulationsverfahren, zum Beispiel mit  $s_{1} \equiv 0$  und

• $\boldsymbol{s}_{0} = \{s_0,\ 0\}$  (bei Cosinus–Träger,  linke Grafik)  bzw.
• $\boldsymbol{s}_{0} = \{0,\ -s_0\}$  (bei Sinus–Träger,  rechte Grafik).

Bei kohärenter Demodulation ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht wieder aus den zwei Punkten  $\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{s}_1$.  In diesem Fall ist das AWGN–Rauschen eindimensional mit der Varianz  $\sigma_{\rm AWGN}^2$  anzusetzen und man erhält  entsprechend dem  Theorieteil  für die  Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s})$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{s_0/2}{\sigma_{\rm AWGN}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}. $$

Hierzu ist anzumerken:

• Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  nennt man das „Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral”.  Der Link weist auf das Applet  Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
• Obige Gleichung gilt für gleichwahrscheinliche Symbole mit der Entscheiderschwelle  $G$  in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{r}_0$  und  $\boldsymbol{r}_1$.
  
• Der Abstand der beiden Signalpunkte von der Entscheiderschwelle  $G$  beträgt somit jeweils  $\Delta G = s_0/2$  $($Zähler im Argument der ersten  $\rm Q$–Funktion$)$.
• $E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T$  bezeichnet für diesen Fall die „mittlere Energie pro Symbol” und  $N_0=2T \cdot \sigma_{\rm AWGN}^2$  die (einseitige) AWGN–Rauschleistungsdichte.

$p_{\rm S}$–Berechnung für kohärente Demodulation

$\text{Beispiel 1:}$  Es gelte  $\sigma_{\rm AWGN}= 0.8$  und  $s_{0} = 2$,  ⇒   $G=1$.  Alle diese Werte seien auf den Wert  $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$  normiert.

Die Grafik zeigt zwei „halbe Gaußfunktionen” um  $s_1=0$  (blaue Kurve) und  $s_0=2$  (rote Kurve) sowie den Schwellenwert  $G$.  Die schraffierten Flächen markieren die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.

• Nach der ersten Gleichung gilt mit  $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$:  

$$p_{\rm S} = {\rm Q} ( 1/0.8 )= {\rm Q} ( 1.25 )\approx 10.56 \%.$$

• Ebenso liefert die zweite Gleichung:  $E_{\rm S}/{N_0} = 1/4 \cdot s_0^2/\sigma_{\rm AWGN}^2 = 1.5615$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{1.5615} )\approx 10.56 \%.$$

Aufgrund der Symmetrie ist der Schwellenwert  $G=1$  optimal.  In diesem Fall sind die rote und die blaue schraffierte Fläche gleich groß   ⇒   die Symbole  $\boldsymbol{s}_{0}$  und  $\boldsymbol{s}_{1}$  werden in gleicher Weise verfälscht.

Mit  $G\ne 1$  ergibt sich eine größere Verfälschungswahrscheinlichkeit.  Beispielsweise ergibt sich mit  $G=0.6$:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})= 1/2 \cdot {\rm Q} ( 0.75)+ 1/2 \cdot {\rm Q} ( 1.75)\approx 13.33\% .$$

Hier ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{1}$   ⇒   blaue gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 11.33\%$  aufgrund der ungünstig gewählten Entscheiderschwelle sehr viel größer als die des Symbols  $\boldsymbol{s}_{0}$   ⇒   rote gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 2\%$.

On–Off–Keying mit inkohärenter Demodulation

Die folgende Grafik zeigt die Strukur (im äquivalenten Tiefpassbereich) des optimalen OOK–Empfängers für inkohärente Demodulation.  Detailbeschreibung

Empfänger für inkohärente OOK-Demodulation (komplexe Signale sind blau beschriftet)

Entsprechend dieser zweiten Grafik gilt:

• Das Eingangssignal  $\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{s}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi} + \boldsymbol{n}(t)$  am Empfänger ist aufgrund des aktuellen Phasenwinkels  $\phi$  und wegen des komplexen Rauschterms  $\boldsymbol{n}(t)$  im allgemeinen komplex.
• Erforderlich ist nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal  $\boldsymbol{r}(t)$  und einer  komplexen Basisfunktion  $\boldsymbol{\xi}(t)$.
  

• Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert  $\boldsymbol{r}$, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag  $y = |\boldsymbol{r}(t)|$  gebildet wird.
  

• Ist  $y \gt G$, so wird als Schätzwert  $m_0$  für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{0}$  ausgegeben, andernfalls der Schätzwert  $m_1$  für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{1}$.
• Auch hier ist die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit als Summe zweier Verbundwahrscheinlichkeiten darstellbar:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$$

Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung unter Berücksichtigung von Rayleigh– und Riceverteilung

Zur Berechnung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gehen wir von folgender Grafik aus.  Dargestellt ist das Empfangssignal im äquivalenten Tiefpassbereich in der komplexen Ebene.

??? Kohärente und Inkohärente Demodulation von On-Off-Keying

• Der Punkt  $\boldsymbol{s_1}=0$  führt im Empfangsignal wieder zu  $\boldsymbol{r_1}=0$. 
• Dagegen kann  $\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{s}_0 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi}$  auf jedem Punkt eines Kreises mit  Radius  $1$  liegen, da die Phase  $\phi$  unbekannt ist.
  

• Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun zweidimensional zu interpretieren, wie durch die Pfeile in der Grafik angedeutet.
  

• Die Entscheidungsregion  $I_1$  für das Symbol  $\boldsymbol{s_1}$  ist der blau gefüllte Kreis mit Radius  $G$,  wobei der richtige Wert von  $G$ noch zu bestimmen ist.

• Liegt der Empfangswert  $\boldsymbol{r}$ außerhalb dieses Kreises also im rot hinterlegten Gebiet  $I_0$, so fällt die Entscheidung zugunsten von  $\boldsymbol{s_0}$.
  

$\rm Rayleigh–Anteil$
Unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens gilt  $\boldsymbol{r_1}=\boldsymbol{s_1} + \boldsymbol{n_1}$.  Die Rauschkomponente  $\boldsymbol{n_1}$  besitzt eine  Rayleighverteilung  $($Betrag der beiden mittelwertfreien Gaußkomponenten für  $\rm I$  und  $\rm Q)$. 

Deren bedingte WDF lautet mit der rotationssymmetrischen Rauschkomponente  $\eta$  mit  $\sigma=\sigma_{\rm AWGN}$ :

$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_1}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_1})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot {\rm e}^{-\eta^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma^2) } = f_{\rm Rayleigh}(\eta) .$$

Damit erhält man für die bedingte Wahrscheinlichkeit

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1}) = \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm},$$

und mit dem Faktor  $1/2$  wegen der gleichwahrscheinlichen Sendesymbole die Verbundwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1})= 1/2 \cdot \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Rice–Anteil$
Die Rauschkomponente  $\boldsymbol{n_0}$  besitzt eine  Riceverteilung  $($Betrag der Gaußkomponenten mit Mittelwerten  $m_x$  und  $m_y)$   ⇒   Konstante $C=\sqrt{m_x^2 + m_y^2}$:

$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_0}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_0})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it \eta^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \sigma^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it \eta\cdot C}{\sigma^{\rm 2} }) = f_{\rm Rice}(\eta) \hspace{1.4cm}{\rm mit} \hspace{1.4cm} {\rm I_0}(\eta) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\eta/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$

Damit ergibt sich für die zweite Verbundwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) = 1/2 \cdot \int_{0}^{G}f_{\rm Rice}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$

Anmerkung:  Im Applet wird die Konstante  $C$  mit  $C_{\rm Rice}$  bezeichnet. $E_{\rm S}$?

Vorerst ENDE

• Aufgrund der Rice–WDF  $p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0)$ und der Rayleigh–WDF $p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1)$  kann allerdings diese Wahrscheinlichkeit nur numerisch ermittelt werden. Die optimale Entscheidungsgrenze  $G$  ist vorher als die Lösung der folgenden Gleichung zu bestimmen:

\[p_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m} (G \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0) = p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (G \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1) \hspace{0.05cm}.\]

Dichtefunktionen für „OOK, nichtkohärent”

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für  $\sigma_n = 0.5$  und  $C = 2$, wobei die (rote) Rice–WDF durch eine Gauß–WDF mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $\sigma_n$  approximiert ist. Man erkennt daraus:

• Die optimale Entscheidungsgrenze  $($hier:   $G \approx 1.25)$  ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven.
  
• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  ist die Summe der beiden farblich hinterlegten Flächen. Im Beispiel ergibt sich  $p_{\rm S} \approx 5\%$.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit für andere Werte von  $C$  und  $\sigma_n$  sowie die optimale Entscheidungsgrenze  $G$  können Sie mit dem Berechnungstool  Nichtkohärentes On–Off–Keying  bestimmen.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Die Nummer  $0$  entspricht einem „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
• Die Sendesymbole  $\boldsymbol{s}_{0}=s_0$  und  $\boldsymbol{s}_{1}=0$  seien stets gleichwahrscheinlich.
• Aus Platzgründen verwenden wir auch  $\sigma = \sigma_{\rm AWGN}$  und  $C = C_{\rm Rice}$.
• Was Noch?
  

(1)   Es gelte  $\sigma = 0.5$  und  $s_0 = 2$.  Was ist der kleinstmögliche Wert für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$?  Interpretieren Sie dieses Ergebnis.

• Bei kohärenter Demodulation setzt sich die WDF des Empfangssignals aus zwei „halben” Gaußfunktionen um  $s_0 = 2$  $($rot$)$ und  $s_1 = 0$  $($blau$)$ zusammen.
• Der minimale  $p_{\rm S}$–Wert ergibt sich hier mit  $G=1$  mit  $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$ zu  $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \Delta G/\sigma )={\rm Q} ( 1/0.5 )= {\rm Q} ( 2 )\approx 2.27 \%.$
• Mit  $G=1$  werden beide Symbole gleich verfälscht.  Die blaue Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$  ist gleich der roten Fläche  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$.  Deren Summe ergibt  $p_{\rm S}$.
• Mit  $G=0.5$  ist zwar die rote Fläche nahezu Null.  Trotzdem ist  $p_{\rm S}={\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})\approx 8\%$  mehr als doppelt so groß als bei optimalem Schwellenwert.

(2)   Nun gelte  $\sigma = 0.75$.  Mit welchem  $s_0$–Wert ergibt sich bei optimalem $G$ die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie in (1)?  Wie groß ist dann der Quotient  $E_{\rm S}/N_0$?

• Allgemein gilt  $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$.  Erhöht man  $\sigma$  von  $0.5$  auf   $0.75$, dann muss  $s_0$  in gleicher Weise erhöht werden   ⇒   $s_0 = 3$   ⇒   $p_{\rm S}= {\rm Q} ( 1.5/ 0.75 )= {\rm Q} ( 2 )$.
• Außer  $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$  gilt aber auch:  $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0} )$.  Daraus folgt:  $p_{\rm S}= {\rm Q}(2) ={\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0})$   ⇒   $\sqrt{E_{\rm S}/N_0}= 2$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0= 4$.
• Zur Kontrolle:  $E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T, \ N_0=2T \cdot \sigma^2$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0 =s_0^2/(4 \cdot \sigma^2)= 3^2/(4 \cdot 0.75^2)=4$.  Das gleiche  $E_{\rm S}/N_0 =4$  ergibt sich für die Aufgabe (1).

Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)

    (A)     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)

• Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
• Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
• Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
• Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    (B)     Vorauswahl für die Impulsform  $x_1(t)$  (rote Kurve)

    (C)     Parameterfestlegung für  $x_1(t)$ 

    (D)     Numerikausgabe für  $x_1(t_*)$  und  $X_1(f_*)$

    (E)     Vorauswahl für die Impulsform  $x_2(t)$  (blaue Kurve)

    (F)     Parameterfestlegung für  $x_2(t)$ 

    (G)     Numerikausgabe für  $x_2(t_*)$  und  $X_2(f_*)$

    (H)     Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    (I)     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    (J)     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    (K)     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    (L)     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    (M)     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    (N)     Musterlösung anzeigen und verbergen

Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)

Zoom–Funktionen:
       „$+$” (Vergrößern),      „$-$” (Verkleinern),      „$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     „$\leftarrow$”     „$\uparrow$”     „$\downarrow$”     „$\rightarrow$”
        „$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

• Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
• Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
• 2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
• Letztmalige Überarbeitung 2020 durch  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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