Applets:Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

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Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung der (komplementären) Gaußschen Fehlerfunktionen  ${\rm Q}(x)$  und  $1/2\cdot {\rm erfc}(x)$, die für die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung von großer Bedeutung sind.

• Sowohl die Abszisse als auch der Funktionswert können entweder linear oder logarithmisch dargestellt werden.
• Für beide Funktionen wird jeweils eine obere Schranke $($englisch:  Upper Bound,  $\rm UB)$  und eine untere Schranke $($englisch:  Lower Bound,  $\rm LB)$  angegeben.

Theoretischer Hintergrund

Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße  $x$  mit der Varianz  $σ^2$  einen vorgegebenen Wert  $x_0$  überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr}(x > x_0)={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 1/2 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$

Die Funktion ${\rm Q}(x )$

Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

$${\rm Q}(x ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}/\hspace{0.05cm} 2}\,{\rm d} u .$$

• Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss – wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat – aus Tabellen entnommen werden.
• Speziell für größere  $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral, die auch ohne Tabellen berechnet werden können.
• Eine obere Schranke (englisch:  Upper Bound ) des Komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet:

$${\rm Q}_{\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x).$$

• Entsprechend gilt für die untere Schranke (englisch:  Lower Bound ):

$${\rm Q}_{\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] =\frac{1-1/x^2}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^ 2/\hspace{0.05cm}2} ={\rm Q}_{\rm UB}(x ) \cdot (1-1/x^2)< {\rm Q}(x).$$

In vielen Programmbibliotheken findet man allerdings die Funktion  ${\rm Q}(x )$  nicht.

Die Funktion $1/2 \cdot {\rm erfc}(x )$

In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (englisch:  Complementary Gaussian Error Function)

$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

die mit  ${\rm Q}(x)$  wie folgt zusammenhängt:   ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$

• Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor  $1/2$  verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:

$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

• Auch für diese Funktion kann wieder eine obere und eine untere Schranke angegeben werden:

$$\text{Upper Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} ,$$

$$\text{Lower Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ {1-1/(2x^2)}}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} .$$

Wann bietet welche Funktion Vorteile?

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten die binäre Basisbandübertragung. Hier lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d})$, wobei das Nutzsignal die Werte  $\pm s_0$  annehmen kann und der Rauscheffektivwert  $\sigma_d$  ist.

Es wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand  $0.1$  aufgelistet sind. Mit  $s_0/\sigma_d = 4$  erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gemäß der Q–Funktion:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} (4) \approx 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$

Nach der zweiten Gleichung ergibt sich:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2} })= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$

• Richtiger ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist.
  
• Bei den gegebenen Zahlenwerten ist demnach Q–Funktion besser geeignet. Außerhalb von Übungsbeispielen wird allerdings  $s_0/\sigma_d$  in der Regel einen „krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet  ${\rm Q}(x)$  natürlich keinen Vorteil gegenüber  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$.

$\text{Beispiel 2:}$  Mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  und der Rauschleistungsdichte  $(N_0)$  gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Binary Phase Shift Keying  (BPSK):

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2 E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Zahlenwerte  $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$  und  $N_0 = 1 \ \rm mW/Hz$  erhält man:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right ) \hspace{0.05cm}.$$

• Der erste Weg führt zum Ergebnis  $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  hier den richtigeren Wert  $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$  liefert.
• Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier:   Die Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  sind grundsätzlich gleich gut geeignet.
• Vor– oder Nachteile der einen oder anderen Funktion ergeben sich nur bei konkreten Zahlenwerten.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.

(1)   Ermitteln Sie die Werte der Funktion  ${\rm Q}(x)$  für  $x=1$,  $x=2$,  $x=4$  und  $x=6$.  Interpretieren Sie die Grafiken bei linearer und logarithmischer Ordinate.

• Das Applet liefert die Werte  ${\rm Q}(1)=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(2)=2.275 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$  und  ${\rm Q}(6)=9.8659 \cdot 10^{-10}$.
• Bei linearer Ordinate sind die Werte für  $x>3$  nicht von der Nulllinie zu unterscheiden.  Interessanter ist die Darstellung mit logarithmischer Ordinate.

(2)   Bewerten Sie die beiden Schranken  ${\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ]$  und  ${\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ]$  für die  ${\rm Q}$–Funktion.

• Für  $x\ge 2$  liegt die obere Schranke nur geringfügig oberhalb von  ${\rm Q}(x)$  und die untere Schranke nur geringfügig unterhalb von  ${\rm Q}(x)$. 
• Zum Beispiel:  ${\rm Q}(x=4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$   ⇒   ${\rm LB}(x=4)=3.1366 \cdot 10^{-5}$,   ${\rm UB}(x=4)=3.3458 \cdot 10^{-5}$.
• Die „Upper Bound” hat eine größere Bedeutung zur Beurteilung eines Nachrichtensystems als „LB”, da dies einer „Worst Case”–Betrachtung entspricht.

(3)   Versuchen Sie, mit der App den Funktionswert  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2} \approx 2.828)$  trotz der Quantisierung des Eingabeparameters möglichst exakt zu bestimmen.

• Das Programm liefert für  $x=2.8$  das zu große Ergebnis  $2.5551 \cdot 10^{-3}$  und für  $x=2.85$  das Ergebnis  $2.186 \cdot 10^{-3}$.  Der exakte Wert liegt dazwischen.
• Es gilt aber auch:  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2})=0.5 \cdot {\rm erfc}(x=2)$.  Damit erhält man den exakten Wert  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2})=2.3389 \cdot 10^{-3}$.

(4)   Ermitteln Sie die Werte der Funktion  $0.5 \cdot {\rm erfc}(x)$  für  $x=1$,  $x=2$,  $x=3$  und  $x=4$.  Interpretieren Sie die die exakten Ergebnisse und die Schranken.

• Das Applet liefert:  $0.5 \cdot {\rm erfc}(1)=7.865 \cdot 10^{-2}$,  $0.5 \cdot {\rm erfc}(2)=2.3389 \cdot 10^{-3}$,  $0.5 \cdot {\rm erfc}(3)=1.1045 \cdot 10^{-5}$  und  $0.5 \cdot {\rm erfc}(4)=7.7086 \cdot 10^{-9}$.
• Alle obigen Aussagen zur  ${\rm Q}$–Funktion bezüglich geeigneter Darstellungsart sowie oberer und unterer Schranke gelten auch für die Funktion  $0.5 \cdot {\rm erfc}(x)$.

(5)   Die Ergbnisse von  (4)  sollen nun für den Fall einer logarithmischen Abszisse umgerechnet werden.  Die Umrechnung erfolgt entsprechend  $\rho\big[{\rm dB}\big ] = 20 \cdot \lg(x)$.

• Der lineare Abszissenwert  $x=1$  führt zum logarithmischen Abszissenwert  $\rho=0\ \rm dB$   ⇒   $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=0\ {\rm dB})={0.5 \cdot \rm erfc}(x=1)=7.865 \cdot 10^{-2}$.
• Entsprechend gilt auch  $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=6.021\ {\rm dB}) =0.5 \cdot {\rm erfc}(x=2)=2.3389 \cdot 10^{-3}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=9.542\ {\rm dB})= 0.5 \cdot {\rm erfc}(3)=1.1045 \cdot 10^{-5}$,   
• $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=12.041\ {\rm dB})= 0.5 \cdot {\rm erfc}(4)=7.7086 \cdot 10^{-9}$.
• Laut rechtem Diagramm:  $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=6\ {\rm dB}) =2.3883 \cdot 10^{-3}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=9.5\ {\rm dB}) =1.2109 \cdot 10^{-5}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=12\ {\rm dB}) =9.006 \cdot 10^{-9}$.

(6)   Ermitteln Sie  ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})$,  ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})$  und  ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})$,  und stellen Sie den Zusammenhang zwischen linearer und logarithmischer Abszisse her.

• Das Programm liefert für logarithmische Abszisse die Werte  ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})=3.7679 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})=7.827 \cdot 10^{-4}$.
• Die Umrechnung erfolgt gemäß der Gleichung  $x=10^{\hspace{0.05cm}0.05\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \rho[{\rm dB}]}$.  Für  $\rho=0\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=1$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1) =1.5866 \cdot 10^{-1}$.
• Für  $\rho=5\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=1.1778$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1.778) =3.7679 \cdot 10^{-2}$.  Aus dem linken Diagramm:  ${\rm Q}(x=1.8) =3.593 \cdot 10^{-2}$.
• Für  $\rho=10\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=3.162$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})={\rm Q}(x=3.162) =7.827 \cdot 10^{-4}$.  Nach „Quantisierung”:  ${\rm Q}(x=3.15) =8.1635 \cdot 10^{-4}$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Verwendete Gleichungen am Beispiel  ${\rm Q}(x)$

    (B)     Auswahloption für  ${\rm Q}(x)$  oder  ${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$

    (C)     Schranken  ${\rm LB}$  und  ${\rm UB}$  werden gezeichnet

    (D)     Auswahl, ob Abszisse linear  $\rm (lin)$  oder logarithmisch  $\rm (log)$ 

    (E)     Auswahl, ob Ordinate linear  $\rm (lin)$  oder logarithmisch  $\rm (log)$ 

    (F)     Numerikausgabe am Beispiel  ${\rm Q}(x)$  bei linearer Abszisse

    (G)     Slidereingabe des Abszissenwertes  $x$  für lineare Abszisse

    (H)     Slidereingabe des Abszissenwertes  $\rho \ \rm [dB]$  für logarithmische Abszisse

    (I)     Grafikausgabe der Funktion  ${\rm Q}(x)$  – hier:  lineare Abszisse

    (J)     Grafikausgabe der Funktion  ${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$  – hier:  lineare Abszisse

    (K)     Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2007 von  Thomas Großer  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2018/2019 wurde das Programm von  Marwen Ben Ammar  und  Xiaohan Liu  (Bachelorarbeit, Betreuer:  Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

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