Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems mit Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t) | + | An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems |
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| − | In der letzten Teilaufgabe (5) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \ {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik). | + | wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve): |
| + | :$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$ | ||
| + | Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den unten dargestellten Verlauf. | ||
| + | *Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden: | ||
| + | :$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$ | ||
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| + | *Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$. | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] |
| − | *Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \ \text{V}$ auch geschrieben werden: | + | *Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ auch geschrieben werden: |
:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$ | :$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$ | ||
| − | *Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben: | + | *Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Dreimal_Faltung|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen. |
| − | *Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt. | + | *Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt. |
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{Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich? | {Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich? | ||
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| − | - $H(f)$ beschreibt ein akausales System. | + | - $H(f)$ beschreibt ein akausales System. |
| − | + $H(f)$ beschreibt ein kausales System. | + | + $H(f)$ beschreibt ein kausales System. |
| − | + $H(f)$ beschreibt einen Tiefpass. | + | + $H(f)$ beschreibt einen Tiefpass. |
| − | - $H(f)$ beschreibt einen Hochpass. | + | - $H(f)$ beschreibt einen Hochpass. |
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| − | {Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf? | + | {Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf? |
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| − | $σ(t = \rm 1 \: ms) \ =$ { 0.1875 5% } | + | $σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $ { 0.1875 5% } |
| − | {Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$? | + | {Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$? |
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$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 } $\text {1/s}$ | $h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 } $\text {1/s}$ | ||
$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. } $\text {1/s}$ | $h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. } $\text {1/s}$ | ||
| − | {Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$ und $t_4 = +2 \text { ms}$? | + | {Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$ und $t_4 = +2 \text { ms}$? |
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$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. } $\text {V}$ | $y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. } $\text {V}$ | ||
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'''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
| − | *Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt. | + | *Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$ ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt. |
*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden. | *Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden. | ||
| − | *Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar. | + | *Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar. |
| − | '''(2)''' Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist: | + | |
| + | '''(2)''' Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist: | ||
:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= | :$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= | ||
\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$ | \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) = 4 \ \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$: | + | |
| − | :$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\ | + | '''(3)''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. |
| − | Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$. Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt. | + | *Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$: |
| + | :$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$ | ||
| + | *Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$. | ||
| + | *Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$. | ||
| + | *Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt. | ||
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[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png |Berechnete Impulsantwort | rechts|frame]] | [[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png |Berechnete Impulsantwort | rechts|frame]] | ||
| − | '''(4)''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb: | + | '''(4)''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. |
| + | *Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. | ||
| + | *Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb: | ||
:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$ | :$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ | ||
| − | Für $t < 0$ und $t ≥ T$ | + | *Für $t < 0$ und $t ≥ T$ gilt stets $h(t)=0$. |
| + | *Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden: | ||
:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon | :$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon | ||
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon | \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon | ||
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$ | \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$ | ||
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[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png | Berechnete Rechteckantwort| rechts|frame]] | [[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png | Berechnete Rechteckantwort| rechts|frame]] | ||
| − | '''(5)''' Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden: | + | '''(5)''' Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden: |
| − | :$$x_2(t) = A \cdot \ | + | :$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$ |
| − | Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten: | + | *Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten: |
| − | :$$y_2(t) = A \cdot \ | + | :$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$ |
| − | Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$. | + | *Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$. |
| − | Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben: | + | *Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben: |
| − | :$$y_2(t = 0) = A \cdot \ | + | :$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] = |
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$ | {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$ | ||
| − | :$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \ | + | :$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] = |
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$ | {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$ | ||
| − | :$$y_2(t = T) = A \cdot \ | + | :$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] = |
| − | {\rm 2\, V}\cdot \ | + | {\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$ |
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Aktuelle Version vom 1. März 2021, 17:18 Uhr
Gemessene Sprungantwort
An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems
- mit dem Frequenzgang $H(f)$
- und der Impulsantwort $h(t)$
wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):
- $$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$
Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den unten dargestellten Verlauf.
- Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden:
- $$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$
- Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$.
In der letzten Teilaufgabe (5) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Zeitbereich
- Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ auch geschrieben werden:
- $$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
- Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu Aufgabe 3.8 im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
- Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$ ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
- Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
- Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.
(2) Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
- $$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
(3) Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde.
- Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:
- $$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
- Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$.
- Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
- Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.
Berechnete Impulsantwort
(4) Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$.
- Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit.
- Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:
- $$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
- Für $t < 0$ und $t ≥ T$ gilt stets $h(t)=0$.
- Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
- $$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$
Berechnete Rechteckantwort
(5) Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:
- $$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
- Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:
- $$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
- Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.
- Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
- $$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
- $$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
- $$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$
