Aufgaben:Aufgabe 1.3: Rechnen mit komplexen Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Zum Rechnen mit komplexen Zahlen}}
 
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[[Datei:P_ID800_Sig_A_1_3.png|right|Zahlen in der komplexen Ebene]]
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[[Datei:P_ID800_Sig_A_1_3.png|right|frame|Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene]]
 
Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich
 
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$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$
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:$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}, $$
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$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$
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:$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}},$$
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$$z_3 = -{\rm j} .$$
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:$$z_3 = -{\rm j} .$$
 
   
 
   
 
Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:
 
Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:
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$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$
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:$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$
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$$z_5 = 1/z_2,$$
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:$$z_5 = 1/z_2,$$
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$$z_6 = \sqrt{z_3},$$
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:$$z_6 = \sqrt{z_3},$$
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$$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$
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$$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$
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:$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$
 
   
 
   
  
 
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
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*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
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*Die Thematik wird auch im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]]  behandelt.
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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{Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Gleichungen sind richtig?
 
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+ <math>2 \cdot z_1 + z_2 =0.</math>
 
+ <math>2 \cdot z_1 + z_2 =0.</math>
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{Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße <math>z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4</math>?
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{Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße&nbsp; <math>z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4</math>?
 
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<math> x_4 = </math> { -1 5% }
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<math> x_4 \ =\  </math> { -1.01--0.99 }
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<math> y_4 = </math> { -4 5% }
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<math> y_4 \ =\  </math> { -4.01--3.99 }
  
  
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{Berechnen Sie die komplexe Größe <math><i>z</i><sub>5</sub> = 1/<i>z</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>5</sub> + j &middot; <i>y</i><sub>5</sub></math>
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{Berechnen Sie die komplexe Größe&nbsp; <math>z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5</math>.
 
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<math> x_5 = </math> { -0.354 5%  }
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<math> x_5 \ =\  </math> { -0.36--0.35 }
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<math> y_5 = </math> { -0.354 5%  }
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<math> y_5 \ =\  </math> { -0.36--0.35 }
  
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{<math>z_6</math> hat als Quadratwurzel von <math>z_3</math> zwei Lösungen, beide mit dem Betrag <math>|z_6| = 1</math>. Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von <math>z_6</math> an.
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{<math>z_6</math>&nbsp; hat als Quadratwurzel von&nbsp; <math>z_3</math>&nbsp; zwei Lösungen, beide mit dem Betrag&nbsp; <math>|z_6| = 1</math>. <br>Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; an.
 
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<math> \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0 \hspace{0.1cm}Grad  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 180 \hspace{0.1cm}Grad}) </math> (zwischen 0 Grad  und  180 Grad) = { 133-137 } $\text{Grad}$
+
<math> \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ}  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ </math>   { 133-137 } $\ \text{Grad}$
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<math> \phi_6 </math>  (zwischen -180 Grad und 0 Grad) = { -45 1% } $\text{Grad}$
+
<math> \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ </math>  { -47--43 } $\ \text{Grad}$
  
  
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{Berechnen Sie  <math>z_7 = e^{z_2} = x_7 + j \cdot y_7</math>
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{Berechnen Sie&nbsp; <math>z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7</math>.
 
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<math> x_7 = </math> { 0.03-0.04 }
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<math> x_7 \ =\  </math> { 0.03-0.04 }
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<math> y_7 = </math> { 0.2-0.3 }
+
<math> y_7 \ =\ </math> { 0.2-0.3 }
  
  
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{Geben Sie die komplexe Größe  <math>z_8 = e^{z_2} + e^{z_2^{\ast}} = x_8 + j \cdot y_8</math>
+
{Geben Sie die komplexe Größe&nbsp; <math>z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8</math>&nbsp; an.
 
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<math> x_8 = </math> { 0.07-0.08 }
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<math> x_8 \ =\  </math> { 0.07-0.08 }
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<math> y_8 = </math> { 0. }
+
<math> y_8 \ =\  </math> { 0. }
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.''' Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die<u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Entsprechend den Angaben gilt mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
  
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<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot cos(45^{\circ}) - 2j \cdot sin(45^{\circ}) - 2 \cdot cos(45^{\circ}) + 2j \cdot sin(45^{\circ}) = 0</math>
+
::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2 \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2\cdot {\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
  
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Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
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*Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
  
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<math>z_1^{\ast} \cdot z_2 = 1 \cdot e^{j45^{\circ} \cdot 2 \cdot e^{j135^{\circ}}=-2}</math>
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::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{
 +
\circ}}= -2.</math>
  
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Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von <math>z_1</math> und <math>z_2</math> liefert:
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*Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von&nbsp; <math>z_1</math> und <math>z_2</math>&nbsp; liefert:&nbsp;
 
   
 
   
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<math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{e^{-j45^{\circ}}}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = 0.5 \cdot e^{-j180^{\circ}} = -0.5</math>
+
::<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}} =
 +
0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{
 +
\circ}}= -0.5.</math>
  
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Die Multiplikation mit <math>z_3 = -j</math> führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2. 
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*Die Multiplikation mit&nbsp; <math>z_3 = -{\rm j} </math>&nbsp; führt zum Ergebnis&nbsp; ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.  
  
  
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'''2.''' Das Quadrat von <math>z_2</math> hat den Betrag <math>|z_2|^{2}</math> und die Phase <math>2 \cdot \phi_2</math>:
 
  
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<math>z_2^2 = 2^2 \cdot e^{j270^{\circ}} = 4 \cdot e^{-j90^{\circ}} = -4j</math>
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'''(2)'''&nbsp; Das Quadrat von&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; hat den Betrag&nbsp; <math>|z_2|^{2}</math>&nbsp; und die Phase&nbsp; <math>2 \cdot \phi_2</math>:&nbsp;
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::<math>z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.</math>
 
   
 
   
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Entsprechend gilt für das Quadrat von <math>z_3</math>:
+
*Entsprechend gilt für das Quadrat von&nbsp; <math>z_3</math>:&nbsp;
 
   
 
   
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<math>z_3^2=(-j)^2 = -1</math>
+
::<math>z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.</math>
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Somit ist <math>x_4</math> = –1 und <math>y_4</math> = –4
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*Somit ist&nbsp; <math>x_4 =\underline{ –1}</math>&nbsp;  und&nbsp; <math>y_4 = \underline{–4}.</math>
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'''3.''' Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:
 
−
 
 
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<math>z_5 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = 0.5 \cdot e^{-j135^{\circ}} = 0.5 \cdot (cos(-135^{\circ}) + j \cdot sin(-135^{\circ}))</math>
 
−
<math>\Rightarrow x_5 = y_5 = - \frac{\sqrt{2}}{4}= -0.354</math>
 
  
  
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'''4.''' Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:
 
  
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<math>z_6^2 = z_3 = e^{-90^{\circ}}</math>
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'''(3)'''&nbsp; Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:&nbsp;
  
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Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für <math>z_6</math> gibt, die diese Gleichung erfüllen:
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::<math>z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{
 +
\circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{
 +
\circ})\big]</math>
 +
::<math>\Rightarrow \ x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.</math>
  
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<math>z_6(1.Loesung) = \frac{z_2}{2}= 1 \cdot e^{j135^{\circ}} \Rightarrow  \phi_6 = 135^{\circ}</math>
 
  
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<math>z_6(2.Loesung) = z_1= 1 \cdot e^{-j45^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = -45^{\circ}</math>
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'''(4)'''&nbsp; Die angegeben Beziehung für&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}.</math>
  
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*Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; gibt, die diese Gleichung erfüllen:&nbsp;
  
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'''5.''' Die komplexe Größe <math>z_2</math> lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:
+
::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}
 +
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{
 +
\circ}}, </math>
  
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<math>z_2 = x_2 + j \cdot y_2 = -\sqrt{2} + j \cdot \sqrt{2}</math>
+
::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45^{ \circ}}
 +
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6  \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{
 +
\circ}}.</math>
  
−
Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
 
  
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<math>z_7 = e^{-\sqrt{2}+j \cdot \sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2} + j \cdot sin(\sqrt{2})</math>
+
'''(5)'''&nbsp; Die komplexe Größe&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung:&nbsp;
  
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Mit
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::<math>z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.</math>
  
−
<math>e^{-\sqrt{2}} = 0.243, \quad cos(\sqrt{2}) = 0.156, \quad sin(\sqrt{2}) = 0.988</math>
+
*Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
  
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erhält man somit:
+
::<math>z_7 =  {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big].</math>
  
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<math>z_7 = 0.243 \cdot (0.156 + j \cdot 0.988) = 0.038 + j \cdot 0.24</math>
+
*Mit&nbsp; <math>{\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.4cm}  \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.4cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988</math>&nbsp; erhält man somit:&nbsp;
  
 +
::<math>z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.</math>
  
−
'''6.''' Ausgehend vom Ergebnis 4. erhält man für <math>z_8</math>:
 
  
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<math>z_8 = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2}) + j \cdot sin(\sqrt{2}) + cos(\sqrt{2}) - j \cdot (\sqrt{2}))</math>
 
  
−
<math>2 \cdot e^{-\sqrt{2}} \cdot cos(\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7</math>
+
'''(6)'''&nbsp; Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
  
−
<math>\Rightarrow x_8 = 0.076, \quad y_8 =0</math>
+
::<math>z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin
 +
(\sqrt{2})\big]
 +
= 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.4cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.</math>
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]

Aktuelle Version vom 9. April 2021, 15:39 Uhr

Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}, $$
$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}},$$
$$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:

$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$
$$z_5 = 1/z_2,$$
$$z_6 = \sqrt{z_3},$$
$$z_7 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2},$$
$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$


Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Gleichungen sind richtig?

\(2 \cdot z_1 + z_2 =0.\)
\(z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.\)
\((z_1/z_2) \cdot z_3\) ist rein reell.

2

Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße  \(z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4\)?

\( x_4 \ =\ \)

\( y_4 \ =\ \)

3

Berechnen Sie die komplexe Größe  \(z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5\).

\( x_5 \ =\ \)

\( y_5 \ =\ \)

4

\(z_6\)  hat als Quadratwurzel von  \(z_3\)  zwei Lösungen, beide mit dem Betrag  \(|z_6| = 1\).
Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von  \(z_6\)  an.

\( \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \)

$\ \text{Grad}$
\( \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \)

$\ \text{Grad}$

5

Berechnen Sie  \(z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7\).

\( x_7 \ =\ \)

\( y_7 \ =\ \)

6

Geben Sie die komplexe Größe  \(z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8\)  an.

\( x_8 \ =\ \)

\( y_8 \ =\ \)


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

\[2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2 \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2\cdot {\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.\]
  • Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
\[z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{ \circ}}= -2.\]
  • Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von  \(z_1\) und \(z_2\)  liefert: 
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{ \circ}}= -0.5.\]
  • Die Multiplikation mit  \(z_3 = -{\rm j} \)  führt zum Ergebnis  ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.


(2)  Das Quadrat von  \(z_2\)  hat den Betrag  \(|z_2|^{2}\)  und die Phase  \(2 \cdot \phi_2\): 

\[z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.\]
  • Entsprechend gilt für das Quadrat von  \(z_3\): 
\[z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.\]
  • Somit ist  \(x_4 =\underline{ –1}\)  und  \(y_4 = \underline{–4}.\)


(3)  Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man: 

\[z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\big]\]
\[\Rightarrow \ x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.\]


(4)  Die angegeben Beziehung für  \(z_6\)  kann wie folgt umgeformt werden:  \(z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}.\)

  • Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für  \(z_6\)  gibt, die diese Gleichung erfüllen: 
\[z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, \]
\[z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}.\]


(5)  Die komplexe Größe  \(z_2\)  lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung: 

\[z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.\]
  • Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
\[z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big].\]
  • Mit  \({\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.4cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.4cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988\)  erhält man somit: 
\[z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.\]


(6)  Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe  (4)  erhält man für \(z_8\): 

\[z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big] = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.4cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.\]

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