Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Summensignal: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. April 2021, 15:11 Uhr

Rechtecksignal, Dreiecksignal und Summensignal

In nebenstehender Grafik sind die beiden periodischen Signale ${x(t)}$ und ${y(t)}$ dargestellt, aus denen das Summensignal ${s(t)}$ – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal ${d(t)}$ gebildet werden.

Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen ${u(t)}$ und $v(t)$ ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien

$f_u = 998 \,\text{Hz},$

$f_v = 1002 \,\text{Hz}.$

Mehr ist von diesen Signalen ${u(t)}$ und $v(t)$ nicht bekannt.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeine Beschreibung periodischer Signale.
Mit dem interaktiven Applet Periodendauer periodischer Signale lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.

Fragebogen

$f_x\ = \ $

$\text{kHz}$

$f_y\ = \ $

$\text{kHz}$

$T_s\ = \ $

$\text{ms}$

$T_d\ = \ $

$\text{ms}$

$T_w\ = \ $

$\text{ms}$

Musterlösung

(1) Für das Rechtecksignal gilt $T_x = 1 \,\text{ms}$ ⇒ $f_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \text{kHz}}$.

(2) Für das Dreiecksignal gilt $T_y = 2.5 \,\text{ms}$ und $f_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.4\, \text{kHz}}$.

(3) Die Grundfrequenz $f_s$ des Summensignals $s(t)$ ist der größte gemeinsame Teiler von $f_x = 1 \,\text{kHz}$ und $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$.

Differenzsignal $d(t) = x(t) - y(t)$

Daraus folgt $f_s = 200 \,\text{Hz}$ und die Periodendauer $T_s\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \,\text{ms}}$.
Dies geht auch aus der grafischen Darstellung des Signals ${s(t)}$ auf der Angabenseite hervor.

(4) Die Periodendauer $T_d$ ändert sich gegenüber der Periodendauer $T_s$ nicht, wenn das Signal ${y(t)}$ nicht addiert, sondern subtrahiert wird: $T_d = T_s \hspace{0.15cm}\underline{= 5\, \text{ms}}$.

(5) Der größte gemeinsame Teiler von $f_u = 998 \,\text{Hz}$ und $f_{v} = 1002 \,\text{Hz}$ ist $f_w = 2 \,\text{Hz}$.

Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \hspace{0.15cm}\underline{= 500 \,\text{ms}}$.

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 }}
-[[Datei:P_ID319__Sig_Z_2_1.png|right|Summensignal ]]
+[[Datei:P_ID319__Sig_Z_2_1.png|right|frame|Rechtecksignal, Dreiecksignal und Summensignal]]
-In der nebenstehenden Grafik sind die beiden periodischen Signale ${x(t)}$ und ${y(t)}$ dargestellt, aus denen das Summensignal $\{s(t)}$ – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal ${d(t)}$ gebildet werden.
+In nebenstehender Grafik sind die beiden periodischen Signale&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; und&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; dargestellt, aus denen das Summensignal&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; gebildet werden.
-Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe noch das Signal ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen ${u(t)}$ und $v(t)$ ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien
+Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal&nbsp; ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen&nbsp; ${u(t)}$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien
 :* $f_u = 998 \,\text{Hz},$
-:* $f_u = 1002 \,\text{Hz}.$
+:* $f_v = 1002 \,\text{Hz}.$
-Mehr ist von diesen Signalen $\text{u(t)}$ und $\upsilon(t)$ nicht bekannt.
+Mehr ist von diesen Signalen&nbsp; ${u(t)}$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; nicht bekannt.
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung periodischer Signale]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung Kapitel 2.1. ]
+''Hinweis:''
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung periodischer Signale]].
+*Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Periodendauer_periodischer_Signale|Periodendauer periodischer Signale]]&nbsp; lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist Periodendauer $T_x$ und Grundfrequenz $f_x$ des Signals $\text{x(t)}$?
+{Wie groß ist Periodendauer&nbsp; $T_x$&nbsp; und Grundfrequenz&nbsp; $f_x$&nbsp; des Signals&nbsp; ${x(t)}$?
 |type="{}"}
-$f_x$ = { 1 3% } $\text{kHz}$
+$f_x\ = \ $  { 1 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
-{Wie groß ist Periodendauer $T_y$ und Grundfrequenz $f_y$ des Signals $\text{y(t)}$?
+{Wie groß ist Periodendauer&nbsp; $T_y$&nbsp; und Grundfrequenz&nbsp; $f_y$&nbsp; des Signals&nbsp; ${y(t)}$?
 |type="{}"}
-$f_y$ = { 0.4 3% } $\text{kHz}$
+$f_y\ = \ $ { 0.4 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
-{Bestimmen Sie die Grundfrequenz $f_s$ sowie die Periodendauer $T_s$ des Summensignals $\text{s(t)}$ und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.
+{Bestimmen Sie die Grundfrequenz&nbsp; $f_s$&nbsp; sowie die Periodendauer&nbsp; $T_s$&nbsp; des Summensignals&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.
 |type="{}"}
-$T_s$ = { 5 3% } $\text{ms}$
+$T_s\ = \ $ { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
-{Welche Periodendauer $T_d$ weist das Differenzsignal $\text{d(t)}$ auf?
+{Welche Periodendauer&nbsp; $T_d$&nbsp; weist das Differenzsignal&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
-$T_d$ = { 5 3% } $\text{ms}$
+$T_d\ = \ $ { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
-{Welche Periodendauer $T_w$ besitzt das Signal $\text{w(t)} = \text{u(t)} + \text{$\upsilon$(t)}$?
+{Welche Periodendauer&nbsp; $T_w$&nbsp; besitzt das Signal&nbsp; ${w(t)} = {u(t)} + v(t)$?
 |type="{}"}
-$T_w$ = { 500 3% } $\text{ms}$
+$T_w\ = \ $ { 500 3% } &nbsp; $\text{ms}$
 </quiz>
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Es gilt $T_x = 1 \text{ms}$ und $f_x \underline{= 1 \text{kHz}}$.
+'''(1)'''&nbsp;  Für das Rechtecksignal gilt&nbsp; $T_x = 1 \,\text{ms}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \text{kHz}}$.
+'''(2)'''&nbsp;   Für das Dreiecksignal gilt&nbsp; $T_y = 2.5 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $f_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.4\,  \text{kHz}}$.
+'''(3)'''&nbsp;  Die Grundfrequenz&nbsp; $f_s$&nbsp; des Summensignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist der größte gemeinsame Teiler von&nbsp; $f_x = 1 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$.
+[[Datei:P_ID320__Sig_Z_2_1_d_neu.png|right|frame|Differenzsignal $d(t) = x(t) - y(t)$]]
+*Daraus folgt&nbsp; $f_s = 200 \,\text{Hz}$&nbsp; und die Periodendauer&nbsp; $T_s\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \,\text{ms}}$.
+* Dies geht  auch aus der grafischen Darstellung des Signals&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; auf der Angabenseite hervor.
+'''(4)'''&nbsp;  Die Periodendauer&nbsp; $T_d$&nbsp; ändert sich gegenüber der Periodendauer&nbsp; $T_s$&nbsp; nicht, wenn das Signal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; nicht addiert, sondern subtrahiert wird: &nbsp; &nbsp; $T_d = T_s \hspace{0.15cm}\underline{= 5\, \text{ms}}$.
-'''2.'''  Es gilt $T_y = 2.5 \text{ms}$ und $f_y \underline{= 0.4 \text{kHz}}$.
-'''3.'''  Die Grundfrequenz $f_s$ ist der größte gemeinsame Teiler von $f_x = 1 \text{kHz}$ und $f_y = 0.4 \text{kHz}$. Daraus folgt $f_s = 200 \text{Hz}$ und die Periodendauer $T_s = 5 \text{ms}$, wie auch aus der grafischen Darstellung des Signals $\text{s(t)}$ hervorgeht.
-'''4.'''  Die Periodendauer $T_d$ ändert sich gegenüber der Periodendauer $T_s$ nicht, wenn das Signal $\text{y(t)}$ nicht addiert, sondern subtrahiert wird: $T_d = T_s = 5 \text{ms}$.
+'''(5)'''&nbsp;  Der größte gemeinsame Teiler von&nbsp; $f_u = 998 \,\text{Hz}$&nbsp; und&nbsp; $f_{v} = 1002 \,\text{Hz}$&nbsp; ist&nbsp; $f_w = 2 \,\text{Hz}$.
-[[Datei:P_ID320__Sig_Z_2_1_d_neu.png|center|]]
+*Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \hspace{0.15cm}\underline{= 500 \,\text{ms}}$.
-'''5.'''  Der größte gemeinsame Teiler von $f_u = 0.998 \text{kHz}$ und $f_{\upsilon} = 1.002 \text{kHz}$ ist $f_w = 2 \text{Hz}$. Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w = 500 \text{ms}$.
 {{ML-Fuß}}