Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale: Unterschied zwischen den Versionen
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt) | |||
Zeile 21: | Zeile 21: | ||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]. | ||
*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos | *Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos | ||
− | + | :[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]], | |
− | + | : [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]]. | |
Zeile 71: | Zeile 71: | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
'''(1)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>: | '''(1)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>: | ||
− | *Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$. | + | *Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$. |
− | *Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$. | + | *Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$. |
'''(2)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: | '''(2)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: | ||
− | *Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$. | + | *Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$. |
− | *Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$. | + | *Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$. |
− | *Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$. | + | *Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$. |
− | '''(3)''' Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung: | + | '''(3)''' Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung: |
:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$ | :$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$ | ||
− | '''(4)''' Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für | + | '''(4)''' Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt: |
:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$ | :$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$ | ||
:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$ | :$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$ | ||
− | '''(5)''' Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus: | + | '''(5)''' Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus: |
:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$ | :$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$ | ||
:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$ | :$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$ | ||
Damit erhält man: | Damit erhält man: | ||
:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$ | :$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$ | ||
− | Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$: | + | Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$: |
:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, | :$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, | ||
\hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= | \hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= |
Aktuelle Version vom 16. April 2021, 12:12 Uhr
Das mit der Zeit $T_0$ periodische Signal $x(t)$ wird durch den einzigen Parameter $\Delta t$ beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils $1$. Da $x(t)$ gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt:
- $$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$
In den Teilaufgaben (1) und (2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert.
Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen Signalen und $x(t)$ besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
- Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
Fragebogen
Musterlösung
- Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.
- Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.
(2) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:
- Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.
- Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
- Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.
(3) Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:
- $$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$
(4) Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:
- $$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$
- $$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$
(5) Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:
- $$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$
- $$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$
Damit erhält man:
- $$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$
Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$:
- $$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, \hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= {1}/{\pi} \cdot \sin({3}/{2} \cdot \pi) =-{1}/{\pi}.$$