Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Signalparameter haben folgende Werte: | Die Signalparameter haben folgende Werte: | ||
| − | * Amplitude $A = 4 \ \text{V}$, | + | * Amplitude $A = 4 \ \text{V}$, |
| − | * äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$. | + | * äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$. |
| − | Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]: | + | Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]: |
:$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation'' (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich ⇒ $d(0)$, ... , $d(7)$ | + | Die Spektralfunktion soll nun durch eine '''Diskrete Fouriertransformation''' $\rm (DFT)$ mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich ⇒ $d(0)$, ... , $d(7)$ der Grafik entnommen werden können. |
| − | Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind | + | Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0$, ... , $N–1$ gilt: |
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} | :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} | ||
d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$ | d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang: | + | Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang: |
:$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]]. |
| − | *Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet [[Applets: | + | *Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]] überrprüfen. |
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| − | {Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$? | + | {Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$? |
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$d(0)\ = \ $ { 4 3% } $\text{V}$ | $d(0)\ = \ $ { 4 3% } $\text{V}$ | ||
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$T_{\rm A}\ = \ ${ 0.25 3% } $\text{ms}$ | $T_{\rm A}\ = \ ${ 0.25 3% } $\text{ms}$ | ||
| − | {Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ zweier DFT–Frequenzabtastwerte? | + | {Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ zweier DFT–Frequenzabtastwerte? |
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$f_{\rm A}\ = \ ${ 0.5 3% } $\text{kHz}$ | $f_{\rm A}\ = \ ${ 0.5 3% } $\text{kHz}$ | ||
| − | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis. | + | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis. |
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$D(0)\ = \ $ { 2 3% } $\text{V}$ | $D(0)\ = \ $ { 2 3% } $\text{V}$ | ||
| − | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$. | + | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$. |
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$D(2)\ = \ ${ 0. } $\text{V}$ | $D(2)\ = \ ${ 0. } $\text{V}$ | ||
| − | {Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$. | + | {Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$. |
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$D(7)\ = \ $ { 0.854 3% } $\text{V}$ | $D(7)\ = \ $ { 0.854 3% } $\text{V}$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte: | + | '''(1)''' Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte: |
:$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} | :$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} | ||
\hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} | \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} | ||
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| − | '''(2)''' Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$. Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$. | + | '''(2)''' Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$. |
| + | *Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$. | ||
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| − | '''(4)''' Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung | + | '''(4)''' Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung: |
:$$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} | :$$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} | ||
d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$ | d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt: | + | *Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt: |
:$$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert | + | *Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert $(A \cdot T)$ überein. |
| − | '''(5)''' Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man: | + | |
| + | '''(5)''' Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man: | ||
:$$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} | :$$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} | ||
d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = | d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = | ||
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können: | Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können: | ||
| − | *Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet. | + | *Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet. |
| − | *Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: ⇒ $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$. | + | *Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: ⇒ $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$. |
| + | |||
| − | '''(6)''' Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt: | + | '''(6)''' Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt: |
:$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten: | Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten: | ||
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\frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$ | \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$ | ||
:$$\Rightarrow \; \; D(1) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\Rightarrow \; \; D(1) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$. | + | Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$. |
Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion: | Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion: | ||
:$$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz}$ nicht exakt überein. | + | *Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $(4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz})$ nicht exakt überein. |
| − | *Der relative Fehler beträgt | + | *Der relative Fehler beträgt ca. $5.3\%$. |
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Aktuelle Version vom 16. Mai 2021, 16:06 Uhr
Diskretisierung eines Dreieckimpulses
Betrachtet wird der skizzierte Dreieckimpuls
- $$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \left( 1 - {|t|}/{T} \right ) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T.} \\ \end{array}$$
Die Signalparameter haben folgende Werte:
- Amplitude $A = 4 \ \text{V}$,
- äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.
Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des ersten Fourierintegrals:
- $$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
Die Spektralfunktion soll nun durch eine Diskrete Fouriertransformation $\rm (DFT)$ mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich ⇒ $d(0)$, ... , $d(7)$ der Grafik entnommen werden können.
Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0$, ... , $N–1$ gilt:
- $$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
- $$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).
- Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet Diskrete Fouriertransformation und Inverse überrprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte:
- $${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(3) = d(5) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(4) = 0}\hspace{0.05cm}. $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(3) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(6) = 2\,{\rm V}. \hspace{0.1cm}} \hspace{0.05cm} $$
(2) Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$.
- Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.
(3) Für die Abstände der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:
- $$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A}= \frac{1}{ 8 \cdot 0.25\, {\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\, {\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung:
- $$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
- Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
- $$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
- Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert $(A \cdot T)$ überein.
(5) Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man:
- $$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot (-{\rm j})^{\nu} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:
- Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
- Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: ⇒ $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
(6) Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
- $$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$
Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:
- $$D(1) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot \left(4 +3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-2\cdot {\rm j}+ \frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$
- $$\Rightarrow \; \; D(1) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.
Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:
- $$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
- Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $(4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz})$ nicht exakt überein.
- Der relative Fehler beträgt ca. $5.3\%$.
