Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 16:28 Uhr

Verschiedene Koaxialkabel

Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:

$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.

Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil ⇒ $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.

Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.

Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ vorwiegend durch den Einfluss

der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$

bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$

wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.

Fragebogen

$K \ = \ $

$l_{\rm max} \ = \ $

$\text{ km}$

$f_0\ = \ $

$\text{ MHz}$

$P_y \ = \ $

$\text{ mW}$

$P_y \ = \ $

$\text{ mW}$

Musterlösung

(1) Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:

$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$

(2) Mit ${\rm a_0 } = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$

Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.

(3) Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$

Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:

$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$

(4) Für den Frequenzgang gilt:

$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$

Für $f = f_0$ erhält man hierfür $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:

$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$

(5) Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\:\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\:\text{MHz}$ signifikant kleiner:

$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-==A1.2 Koaxialkabel==
-[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel (Aufgabe A1.2) | right]]
+[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
-Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels (mit 2.6 mm Durchmesser des Innenleiters und  9.5 mm Außendurchmesser) der Länge $l$ lautet für Frequenzen $f$ > 0:
+Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge&nbsp; $l$&nbsp; (mit&nbsp; $2.6 \ \text{mm}$&nbsp; Durchmesser des Innenleiters und&nbsp;  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)&nbsp; lautet für Frequenzen&nbsp; $f > 0$:
-$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
+:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
 \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f
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 \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
-*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.
+*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung&nbsp; $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$&nbsp; beschrieben.
+*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $α_1 · f · l$&nbsp; mit&nbsp; $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$&nbsp; geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
+*Auch die frequenzproportionale Phase&nbsp; $β_1 · f · l$&nbsp; mit&nbsp; $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$&nbsp; wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
+Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen&nbsp; $200 \ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $400 \ \text{MHz}$&nbsp; vorwiegend durch den Einfluss
+*der Dämpfungskonstanten&nbsp; $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
+*der Phasenkonstanten&nbsp; $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
+bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.&nbsp; Für positive Frequenzen gilt:
+:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
+Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von&nbsp; $α_2$&nbsp; und&nbsp; $β_2$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
+:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
+wobei der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; die beiden Konstanten&nbsp; $α_2$&nbsp; und&nbsp; $β_2$&nbsp; sowie die Kabellänge&nbsp; $l$&nbsp; gleichermaßen berücksichtigt.
-*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil  ⇒  $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
-*Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
-Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen 200 kHz und 400 MHz im Wesentlichen durch den Einfluss der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$ und der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$ bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:
+''Hinweis:''
-$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
-Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
-$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
-wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$?
+{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$?
 |type="{}"}
-$K =$ { 0.992 5%  }
+$K  \ = \ $ { 0.992 5%  }
-{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird?
+{Welche Länge&nbsp; $l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als&nbsp; $3\%$&nbsp; gedämpft wird?
 |type="{}"}
-$l_{\rm max} =$ { 18.8 5%  } km
+$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
-{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
+{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$.&nbsp; Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
 |type="{}"}
-$f_0 =$ { 0.54 5%  } MHz
+$f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
-{Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$, wenn man am Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ anlegt?
+{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an.&nbsp; Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?
 |type="{}"}
-$f = f_0$: &nbsp; $P_y =$ { 135 5%  } mW
+$P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
-{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x =$ 10 MHz?
+{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz&nbsp; $f_x = 10 \ \rm MHz$?
 |type="{}"}
-$f = 10\,\text{MHz}$: &nbsp; $P_y =$ { 0.184 5%  } mW
+$P_y \ = \ $ { 0.184 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:
-$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot
+:$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot
 \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
-$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
+'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm a_0 } = α_0 · l$&nbsp; müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
+:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
-Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} =$ 0.0305 Np/0.00162 Np/km $\rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
+*Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
-''(3)'''&nbsp; Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = (2j)^{0.5}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
+'''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $β_2 = α_2$&nbsp; und der angegebenen Beziehung&nbsp; $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$&nbsp; kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
-$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
+:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
+\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2
 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-
-\sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
+\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
-Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
+\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
-$$\frac{1}{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}$$
+*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
+:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
-''(4)'''&nbsp; Für den Frequenzgang gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Für den Frequenzgang gilt:
-$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
+:$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
+\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }
-\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\sqrt{ f/f_0} } \\ & \Rightarrow \hspace{0.05 cm}  |H(f)|^2 = K^2 \cdot
+\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
-{\rm e}^{- 2\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
+\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }  \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm}  |H(f)|^2 = K^2 \cdot
-Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2}$ ≈ 0.135. Daraus folgt weiter:
+{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
-$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
+\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man hierfür&nbsp; $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
+:$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
-''(5)'''&nbsp; In diesem Fall gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Mit der höheren Frequenz&nbsp; $f_x = 10\:\text{MHz}$&nbsp; ist die Ausgangsleistung gegenüber&nbsp; $f_x = 0.54\:\text{MHz}$&nbsp; signifikant kleiner:
-$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
+:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
+\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
 {{ML-Fuß}}