Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter A lautet mit der Frequenz $f_0 = | + | [[Datei:P_ID788__LZI_Z_1_2.png |right|Gemessene Signalamplituden <br>und Phasen bei Filter $\rm B$|frame]] |
| − | $$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f | + | Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt. |
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| + | *Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter $\rm A$ lautet mit der Frequenz $f_0 = 1 \ \text{kHz}$: | ||
| + | :$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f | ||
\pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$ | \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$ | ||
| − | Bei einem anderen Filter B ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: | + | *Bei einem anderen Filter $\rm B$ ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: |
| − | $$Y_{\rm B} (f) = | + | :$$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} |
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| − | Das Filter B soll in der Aufgabe in der Form | + | |
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| + | + Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich. | ||
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| + | {Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters $\rm B$ zutreffend? | ||
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| + | - Filter $\rm B$ ist ein Tiefpass. | ||
| + | - Filter $\rm B$ ist ein Hochpass. | ||
| + | + Filter $\rm B$ ist ein Bandpass. | ||
| + | - Filter $\rm B$ ist eine Bandsperre. | ||
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| + | {Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für Filter $\rm B$ und $f_0 = 3 \ \text{kHz}$. | ||
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| − | $\ | + | $a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ = \ $ { 0.916 5% } $\text{Np}$ |
| + | $b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ =\ $ { 20 2% } $\text{Grad}$ | ||
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| − | :''' | + | *Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar. |
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| + | Bei $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$ gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$ | ||
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| − | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^ | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]] |
Aktuelle Version vom 11. Juli 2021, 16:58 Uhr
Gemessene Signalamplituden
und Phasen bei Filter $\rm B$
und Phasen bei Filter $\rm B$
Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.
- Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter $\rm A$ lautet mit der Frequenz $f_0 = 1 \ \text{kHz}$:
- $$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$
- Bei einem anderen Filter $\rm B$ ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt:
- $$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$
Das Filter $\rm B$ soll in der Aufgabe in der Form
- $$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$
dargestellt werden. Hierbei bezeichnet
- $a_{\rm B}(f_0)$ den Dämpfungsverlauf, und
- $b_{\rm B}(f_0)$ den Phasenverlauf.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Bei einem LZI–System gilt $Y(f) = X(f) · H(f)$.
- Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit $3 f_0$ vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt.
- Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem Bandpass ausgegangen werden.
(3) Mit $A_x = 2 \text{ V}$ und $\varphi_x = 90^\circ$ (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$:
- $$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 90^{\circ})} = 0.5.$$
Somit ergeben sich für $f_0 = f_3 = 3 \text{ kHz}$ die Werte
- $a_{\rm B} (f_3)\rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$,
- $b_{\rm B}(f_3) \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.
(4) In analoger Weise kann der Frequenzgang bei $f_0 = f_2 =2 \text{ kHz}$ ermittelt werden:
- $$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$
Damit erhält man für $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$:
- $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$,
- $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.
Bei $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$ gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$
