Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
 
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[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
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[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|frame|Impulsantwort eines nahezu kausalen Gaußtiefpasses]]  
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm
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Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit  $τ$  berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
  j}2\pi f \tau}.$$
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:$$H(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.
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  j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \tau}.$$
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Die beiden Systemparameter,
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*die äquivalente Impulsdauer  $Δt = 1/Δf$  und  
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*die Verzögerungszeit  $τ$,
  
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
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$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<
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können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; entnommen werden.
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*Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der (kausalen) Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; auch für&nbsp; $t < 0$&nbsp; nicht vollkommen verschwindet.  
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*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
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:$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<
 
  \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$
 
  \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.
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In Worten: &nbsp; Der maximale relative Fehler &nbsp;$ε_{\rm max}$&nbsp; ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert &nbsp;$h(t = τ)$&nbsp; der Impulsantwort.
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]].
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*Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:
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:$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
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\int_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
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[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png |center|frame|Einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktion]]
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'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:
 
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
 
\int\limits_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
 
  
  
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]
 
  
  
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{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?
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{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite &nbsp;$\Delta f $&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$\tau $?
 
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$\Delta f =$ { 8 } MHz
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$\Delta f \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm MHz$
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{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?
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{Es gelte &nbsp;$x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$.&nbsp; Wie lautet das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$? &nbsp;Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit &nbsp;$t = 0$?
 
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$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165  } V
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$y(t = 0) \ = \ $ { -0.175--0.165  } $\ \rm V$
  
  
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.
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{Eigentlich sollte bei Kausalität &nbsp;$h(t < 0) = 0$&nbsp; gelten.&nbsp; Wie groß ist der maximale relative Fehler &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; des betrachteten Modells? <br>Definition von &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.
 
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$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5%  } $\rm x 10^{-6}$
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{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?
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{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort &nbsp;$σ(t)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$ &nbsp;und&nbsp; $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$?
 
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$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5%  }
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$σ(t = 300\hspace{0.05cm}  \rm ns) \ = \ $ { 0.841 5%  }
  
 
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===Musterlösung===
 
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:'''a)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt =$ 125 ns. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
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'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; ist gleich &nbsp;$h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.  
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*Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt = 125 \ \rm ns$.  
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*Auch die Phasenlaufzeit&nbsp; $τ \hspace{0.15cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$&nbsp; kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
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'''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude
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:$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
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*Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um &nbsp;$3π$:
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:$$ y(t) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t ).$$
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*Der gesuchte Wert ist somit &nbsp;$y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm  \underline{= \ –0.171 \ V}$.
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'''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort lautet:
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:$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$
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*Da &nbsp;$h(t)$&nbsp; im Bereich &nbsp;$t < 0$&nbsp; stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf:
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:$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi}  .$$
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*Mit &nbsp;$h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
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:$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$
  
  
:'''b)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude
 
$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({{6\,\rm MHz}}/{{8\,\rm MHz}})^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
 
Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:
 
$$\begin{align*} y(t) & =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) \\ & =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi  f_0  t ).\end{align*}$$
 
Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm  \underline{= \ –0.171 \ V}$.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:
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:$$\sigma_{\rm GTP}(t) =  \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t  } {{\rm e}^{-\pi \left({t\hspace{0.05cm}'}/{\Delta t}\right)^2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
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*Nach der Substitution&nbsp; $u =  t\hspace{0.05cm}' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$&nbsp; ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral&nbsp; $ϕ(x)$:
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:$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t  } { {\rm e}^{-u^2/2} }  \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),\hspace{1cm}
 +
{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
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\int_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
 +
*Unter Berücksichtigung der Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; erhält man somit für die gesamte Sprungantwort:
 +
:$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau)  = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$
 +
*Der Wert bei &nbsp;$t = τ = 250 \ \rm ns$&nbsp; ist
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:$$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0)  =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$
  
 +
*Entsprechend erhält man für&nbsp; $t = τ = 300 \ \rm ns$:
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:$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns})  = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$
  
:'''c)'''
 
:'''d)'''
 
:'''e)'''
 
:'''f)'''
 
:'''g)'''
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

Aktuelle Version vom 9. September 2021, 17:43 Uhr

Impulsantwort eines nahezu kausalen Gaußtiefpasses

Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit  $τ$  berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:

$$H(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \tau}.$$

Die beiden Systemparameter,

  • die äquivalente Impulsdauer  $Δt = 1/Δf$  und
  • die Verzögerungszeit  $τ$,


können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort  $h(t)$  entnommen werden.

  • Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der (kausalen) Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort  $h(t)$  auch für  $t < 0$  nicht vollkommen verschwindet.
  • In der Teilaufgabe  (3)  wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$

In Worten:   Der maximale relative Fehler  $ε_{\rm max}$  ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort  $h(t)$  bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert  $h(t = τ)$  der Impulsantwort.




Hinweise:

  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Gaußtiefpass.
  • Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
Einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktion




Fragebogen

1

Wie groß sind die äquivalente Bandbreite  $\Delta f $  und die Laufzeit  $\tau $?

$\Delta f \ = \ $

$\ \rm MHz$
$\tau \ = \ $

$\ \rm ns$

2

Es gelte  $x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$.  Wie lautet das Ausgangssignal  $y(t)$?  Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit  $t = 0$?

$y(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$

3

Eigentlich sollte bei Kausalität  $h(t < 0) = 0$  gelten.  Wie groß ist der maximale relative Fehler  $\varepsilon_{\rm max}$  des betrachteten Modells?
Definition von  $\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.

$\varepsilon_{\rm max} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}$

4

Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort  $σ(t)$.  Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten  $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$  und  $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$?

$σ(t = 250\hspace{0.05cm} \rm ns)\ = \ $

$σ(t = 300\hspace{0.05cm} \rm ns) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die äquivalente Bandbreite  $Δf$  ist gleich  $h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.

  • Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer  $Δt = 125 \ \rm ns$.
  • Auch die Phasenlaufzeit  $τ \hspace{0.15cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$  kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.


(2)  Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude

$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
  • Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um  $3π$:
$$ y(t) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).$$
  • Der gesuchte Wert ist somit  $y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.


(3)  Die Impulsantwort lautet:

$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$
  • Da  $h(t)$  im Bereich  $t < 0$  stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei  $t = 0$  auf:
$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$
  • Mit  $h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$


(4)  Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit  $τ$  des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:

$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t\hspace{0.05cm}'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
  • Nach der Substitution  $u = t\hspace{0.05cm}' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$  ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral  $ϕ(x)$:
$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),\hspace{1cm} {\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
  • Unter Berücksichtigung der Laufzeit  $τ$  erhält man somit für die gesamte Sprungantwort:
$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$
  • Der Wert bei  $t = τ = 250 \ \rm ns$  ist
$$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0) =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$
  • Entsprechend erhält man für  $t = τ = 300 \ \rm ns$:
$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$