Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal | + | Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal |
| − | $$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$ | + | :$$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$ |
| − | an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System | + | an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht |
| − | *aus der Addition eines Gleichanteils | + | *aus der Addition eines Gleichanteils $C$, |
| − | :$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x | + | *einer Nichtlinearität mit der Kennlinie |
| − | *sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal ( | + | :$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$ |
| + | *sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt. | ||
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| + | Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein wie folgt dargestellt werden: | ||
| + | :$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + | ||
| + | A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$ | ||
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| + | Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. | ||
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| + | Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt '''(2)''' der Klirrfaktor berechnet wurde: | ||
| + | *$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$, | ||
| + | *$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$. | ||
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| + | Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität: | ||
| + | :$$x_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$ | ||
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| + | *Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. | ||
| + | *In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet. | ||
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*Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen: | *Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen: | ||
| − | $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} + {1}/{2} | + | :$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} + {1}/{2} |
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\cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) | \cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) | ||
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| − | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$? | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$? |
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| − | $A_0 \ = $ { 0. } | + | $A_0 \ = \ $ { 0. } |
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| − | $A_1 \ =$ { 0.422 3% } | + | $A_1 \ = \ $ { 0.422 3% } |
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{Berechnen Sie den Klirrfaktor des Gesamtsystems. | {Berechnen Sie den Klirrfaktor des Gesamtsystems. | ||
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| − | $K \ =$ { 7.51 3% } $\ \%$ | + | $K \ = \ $ { 7.51 3% } $\ \%$ |
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| − | '''(1)''' Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass: | + | '''(1)''' Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass: |
| − | $$y_{C}(t) = g_3\ | + | :$$y_{\rm C}(t) = g_3\big[x_{\rm C}(t)\big] = \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 |
| − | t)\ | + | t)\big] - {1}/{6} \cdot \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 |
| − | t)\ | + | t)\big]^3 $$ |
| − | $$\Rightarrow \; y_{C}(t) = | + | :$$\Rightarrow \; y_{\rm C}(t) = |
C + A \cdot \cos(\omega_0 | C + A \cdot \cos(\omega_0 | ||
| − | t) - {1}/{6} \cdot [ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 | + | t) - {1}/{6} \cdot \big[ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 |
| − | t) + | + | t) + \hspace{0.09cm}3 \cdot C \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0 |
| − | t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)].$$ | + | t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)\big].$$ |
| − | Das Signal $y_{C}(t)$ beinhaltet eine | + | *Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist: |
| + | :$$\underline{ A_0 = 0}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= | + | '''(2)''' Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$: |
| − | $$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} cdot {3}/{4}\cdot | + | :$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot |
A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} | A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} | ||
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$ | \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$ | ||
| − | $$A_2 = - {1}/{6}\cdot 3 \cdot {1}/{2}\cdot | + | :$$A_2 = - {1}/{6}\cdot 3 \cdot {1}/{2}\cdot |
C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$ | C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$ | ||
| − | $$A_3 = - {1}/{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot | + | :$$A_3 = - {1}/{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot |
A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$ | A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$ | ||
| − | Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $A_4 = 0$. | + | *Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4 = 0}$. |
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| + | '''(3)''' Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$. | ||
| + | *Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor | ||
| + | :$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$ | ||
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| − | '''(4)''' Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf: | + | '''(4)''' Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf: |
| − | $$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= | + | :$$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= |
0.386}.$$ | 0.386}.$$ | ||
| − | Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen | + | *Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt: |
| − | $$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = | + | :$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = |
-0.448}.$$ | -0.448}.$$ | ||
| − | Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben. Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$: | + | *Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben. |
| − | $$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- {C^3} | + | *Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$: |
| + | :$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 29. September 2021, 14:23 Uhr
System und Signalbeispiele
Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal
- $$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht
- aus der Addition eines Gleichanteils $C$,
- einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
- $$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$
- sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt.
Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein wie folgt dargestellt werden:
- $$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden.
Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in Aufgabe 2.3, in deren Unterpunkt (2) der Klirrfaktor berechnet wurde:
- $K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$,
- $K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$.
Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:
- $$x_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$
- Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$.
- In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
- Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
- $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} + {1}/{2} \cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass:
- $$y_{\rm C}(t) = g_3\big[x_{\rm C}(t)\big] = \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\big] - {1}/{6} \cdot \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\big]^3 $$
- $$\Rightarrow \; y_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) - {1}/{6} \cdot \big[ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 t) + \hspace{0.09cm}3 \cdot C \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0 t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)\big].$$
- Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist:
- $$\underline{ A_0 = 0}.$$
(2) Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$:
- $$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$
- $$A_2 = - {1}/{6}\cdot 3 \cdot {1}/{2}\cdot C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$
- $$A_3 = - {1}/{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$
- Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4 = 0}$.
(3) Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$.
- Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor
- $$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$
(4) Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf:
- $$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.386}.$$
- Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt:
- $$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.448}.$$
- Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben.
- Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$:
- $$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$
