Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal | + | Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal |
:$$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$ | :$$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$ | ||
| − | an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht | + | an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht |
| − | *aus der Addition eines Gleichanteils $C$, | + | *aus der Addition eines Gleichanteils $C$, |
*einer Nichtlinearität mit der Kennlinie | *einer Nichtlinearität mit der Kennlinie | ||
:$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$ | :$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$ | ||
| − | *sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt. | + | *sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt. |
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A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$ | A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$ | ||
| − | Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt '''(2)''' der Klirrfaktor berechnet wurde: | + | Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. |
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| + | Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt '''(2)''' der Klirrfaktor berechnet wurde: | ||
*$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$, | *$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$, | ||
*$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$. | *$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$. | ||
| − | Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität: | + | Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität: |
:$$x_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$ | :$$x_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$ | ||
| − | *Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. | + | *Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. |
| − | *In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet. | + | *In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet. |
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| − | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$? | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$? |
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$A_0 \ = \ $ { 0. } | $A_0 \ = \ $ { 0. } | ||
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$A_1 \ = \ $ { 0.422 3% } | $A_1 \ = \ $ { 0.422 3% } | ||
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$y_\text{max} \ = \ $ { 0.386 3% } | $y_\text{max} \ = \ $ { 0.386 3% } | ||
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| − | '''(1)''' Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass: | + | '''(1)''' Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass: |
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:$$\Rightarrow \; y_{\rm C}(t) = | :$$\Rightarrow \; y_{\rm C}(t) = | ||
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| − | Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C- C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist: | + | *Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist: |
| + | :$$\underline{ A_0 = 0}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$: | + | '''(2)''' Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$: |
| − | :$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} cdot {3}/{4}\cdot | + | :$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot |
A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} | A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} | ||
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$ | \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$ | ||
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A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$ | A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$ | ||
| − | Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4 = 0}$. | + | *Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4 = 0}$. |
| − | '''(3)''' Die Klirrfaktoren | + | |
| + | '''(3)''' Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$. | ||
| + | *Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor | ||
:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$ | :$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$ | ||
| − | '''(4)''' Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf: | + | |
| + | '''(4)''' Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf: | ||
:$$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= | :$$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= | ||
0.386}.$$ | 0.386}.$$ | ||
| − | Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen | + | *Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt: |
:$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = | :$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = | ||
-0.448}.$$ | -0.448}.$$ | ||
| − | Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben. Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$: | + | *Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben. |
| + | *Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$: | ||
:$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$ | :$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 29. September 2021, 14:23 Uhr
System und Signalbeispiele
Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal
- $$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht
- aus der Addition eines Gleichanteils $C$,
- einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
- $$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$
- sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt.
Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein wie folgt dargestellt werden:
- $$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden.
Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in Aufgabe 2.3, in deren Unterpunkt (2) der Klirrfaktor berechnet wurde:
- $K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$,
- $K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$.
Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:
- $$x_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$
- Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$.
- In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
- Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
- $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} + {1}/{2} \cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass:
- $$y_{\rm C}(t) = g_3\big[x_{\rm C}(t)\big] = \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\big] - {1}/{6} \cdot \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\big]^3 $$
- $$\Rightarrow \; y_{\rm C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) - {1}/{6} \cdot \big[ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 t) + \hspace{0.09cm}3 \cdot C \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0 t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)\big].$$
- Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist:
- $$\underline{ A_0 = 0}.$$
(2) Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$:
- $$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$
- $$A_2 = - {1}/{6}\cdot 3 \cdot {1}/{2}\cdot C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$
- $$A_3 = - {1}/{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$
- Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4 = 0}$.
(3) Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$.
- Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor
- $$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$
(4) Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf:
- $$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.386}.$$
- Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt:
- $$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.448}.$$
- Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben.
- Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$:
- $$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$
