Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: ZSB-AM ohne/mit Träger: Unterschied zwischen den Versionen
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt) | |||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
− | [[Datei:P_ID987__Mod_Z_2_1.png|right|frame|Die bei | + | [[Datei:P_ID987__Mod_Z_2_1.png|right|frame|Die bei dieser AM beteiligten Signale]] |
Die Grafik zeigt als rote Kurve einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $\rm 200 \ µ s$. | Die Grafik zeigt als rote Kurve einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $\rm 200 \ µ s$. | ||
Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen: | Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen: | ||
− | *das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve): | + | *das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve): |
:$$q(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N}),$$ | :$$q(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N}),$$ | ||
− | *das Trägersignal (grau–gepunkteter Verlauf): | + | *das Trägersignal (grau–gepunkteter Verlauf): |
:$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$ | :$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$ | ||
Zeile 19: | Zeile 19: | ||
− | + | Hinweise: | |
− | |||
− | |||
− | |||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | ||
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]] und [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger]]. | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]] und [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger]]. | ||
Zeile 42: | Zeile 39: | ||
$f_{\rm T} \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{kHz}$ | $f_{\rm T} \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{kHz}$ | ||
− | {Analysieren Sie die Nulldurchgänge von $s(t)$. Welche Aussagen treffen zu? | + | {Analysieren Sie die Nulldurchgänge von $s(t)$. Welche Aussagen treffen zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Alle Nulldurchgänge von $z(t)$ bleiben in $s(t)$ erhalten. | + Alle Nulldurchgänge von $z(t)$ bleiben in $s(t)$ erhalten. | ||
Zeile 71: | Zeile 68: | ||
− | + | '''(2)''' Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200$ μs bzw. $20$ μs abgelesen werden. | |
− | '''(2)''' Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200$ μs bzw. $20$ μs abgelesen werden. | + | *Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ kHz und $f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 50}$ kHz. |
− | *Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ | ||
Zeile 80: | Zeile 76: | ||
*Weitere Nullstellen von $s(t)$ – verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Aussage 2 ist richtig. | *Weitere Nullstellen von $s(t)$ – verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Aussage 2 ist richtig. | ||
*Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt: $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$ | *Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt: $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$ | ||
+ | [[Datei:P_ID988__Mod_Z_2_1_d.png|right|frame|ZSB–AM–Spektrum $Z(f)$, $Q(f)$ und $S(f)$]] | ||
+ | |||
*Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$. | *Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$. | ||
*Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180^\circ$. | *Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180^\circ$. | ||
Zeile 86: | Zeile 84: | ||
− | + | '''(4)''' Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der Spektren $Z(f)$ und $Q(f)$, die jeweils aus nur zwei Diracfunktionen bestehen. Die Grafik zeigt das Ergebnis. | |
− | '''(4)''' Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der | + | *Die rot gezeichneten Diracs gelten nur für die „ZSB–AM mit Träger” und beziehen sich auf die Frage '''(6)'''. |
− | *Die rot | + | *Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, jeweils mit Gewicht $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$. |
− | *Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, jeweils mit Gewicht $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$. | ||
*Die gesuchten Werte sind somit $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ und $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$. | *Die gesuchten Werte sind somit $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ und $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$. | ||
*Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $-f_1$ und $-f_2$. | *Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $-f_1$ und $-f_2$. | ||
Zeile 99: | Zeile 96: | ||
− | '''(6)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | + | '''(6)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: |
*Gemäß der Skizze ergeben sich Diraclinien bei $±f_{\rm T}$, beide mit dem Impulsgewicht $A_{\rm T}/2 = 1\text{ V}$. | *Gemäß der Skizze ergeben sich Diraclinien bei $±f_{\rm T}$, beide mit dem Impulsgewicht $A_{\rm T}/2 = 1\text{ V}$. | ||
*Bei $m ≤ 1$ ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar. | *Bei $m ≤ 1$ ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar. |
Aktuelle Version vom 29. November 2021, 15:10 Uhr
Die Grafik zeigt als rote Kurve einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $\rm 200 \ µ s$.
Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen:
- das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve):
- $$q(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N}),$$
- das Trägersignal (grau–gepunkteter Verlauf):
- $$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$
Ab der Teilaufgabe (4) wird die „ZSB–AM mit Träger” betrachtet. Dann gilt mit $A_{\rm T} = 2\text{ V}$:
- $$s(t) = \left(q(t) + A_{\rm T} \right) \cdot z(t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Zeitbereich und ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200$ μs bzw. $20$ μs abgelesen werden.
- Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ kHz und $f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 50}$ kHz.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Die Nullstellen von $z(t)$ bei $±5$ μs, $±15$ μs, $±25$ μs, ... sind auch im Signal $s(t)$ vorhanden ⇒ Aussage 1 ist richtig.
- Weitere Nullstellen von $s(t)$ – verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Aussage 2 ist richtig.
- Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt: $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$
- Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$.
- Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180^\circ$.
- Bei den Nulldurchgängen von $q(t)$ weist das modulierte Signal $s(t)$ Phasensprünge auf.
(4) Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der Spektren $Z(f)$ und $Q(f)$, die jeweils aus nur zwei Diracfunktionen bestehen. Die Grafik zeigt das Ergebnis.
- Die rot gezeichneten Diracs gelten nur für die „ZSB–AM mit Träger” und beziehen sich auf die Frage (6).
- Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, jeweils mit Gewicht $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$.
- Die gesuchten Werte sind somit $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ und $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$.
- Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $-f_1$ und $-f_2$.
(5) Der Modulationsgrad berechnet sich zu:
- $$ m = \frac{q_{\rm max}}{A_{\rm T}} = \frac{A_{\rm N}}{A_{\rm T}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Gemäß der Skizze ergeben sich Diraclinien bei $±f_{\rm T}$, beide mit dem Impulsgewicht $A_{\rm T}/2 = 1\text{ V}$.
- Bei $m ≤ 1$ ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar.
- Allerdings muss diese einfachere Empfängervariante durch eine sehr viel größere Sendeleistung erkauft werden.
- In diesem Beispiel $(m = 0.5)$ wird die Sendeleistung durch den Trägerzusatz verneunfacht.