Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Tiefpass-Einfluss bei Synchrondemodulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das Quellensignal $q(t)$, das Sendesignal $s(t)$ sowie das Signal $b(t)$ vor dem Tiefpassfilter innerhalb des Synchrondemodulators sind wie folgt gegeben: | + | Das Quellensignal $q(t)$, das Sendesignal $s(t)$ sowie das Signal $b(t)$ vor dem Tiefpassfilter innerhalb des Synchrondemodulators sind wie folgt gegeben: |
:$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)\hspace{0.2cm}{\rm mit }$$ | :$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)\hspace{0.2cm}{\rm mit }$$ | ||
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| − | :$$q_2(t) = 1\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ | + | ::$$q_2(t) = 1\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ |
:$$s(t) = q(t) \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ | :$$s(t) = q(t) \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$b(t) = s(t) \cdot 2 \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$b(t) = s(t) \cdot 2 \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Grafik zeigt oben das Quellensignal $q(t)$ und in der Mitte das Sendesignal $s(t)$. | + | Die Grafik zeigt oben das Quellensignal $q(t)$ und in der Mitte das Sendesignal $s(t)$. |
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| + | In der letzten Skizze ist das Sinkensignal $v(t)$ dargestellt (violetter Kurvenverlauf). | ||
| + | *Dieses stimmt offensichtlich nicht mit dem Quellensignal (blau-gestrichelte Kurve) überein. | ||
| + | *Der Grund für das unerwünschte Ergebnis $v(t) ≠ q(t)$ könnte zum Beispiel ein fehlender oder falsch dimensionierter Tiefpass sein. | ||
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| + | :$$H_{\rm E}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\ {f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\ \end{array}$$ | ||
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| − | * | + | *Im Gegensatz zur [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Frequenz–_und_Phasenversatz|Aufgabe 2.4]] beschreiben hier $f_1$ und $f_2$ nicht Signalfrequenzen, sondern beziehen sich auf das Tiefpassfilter. |
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| − | {Welche Aussagen sind über das Filter $ | + | {Welche Aussagen sind über das Filter $H_{\rm E}(f)$ möglich, das zur Gewinnung des auf der Angabenseite dargestellten Sinkensignals benutzt wurde? |
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+ Die obere Grenzfrequenz ist zu hoch. | + Die obere Grenzfrequenz ist zu hoch. | ||
- Die obere Grenzfrequenz ist zu niedrig. | - Die obere Grenzfrequenz ist zu niedrig. | ||
| − | - Die untere Grenzfrequenz ist ungleich | + | - Die untere Grenzfrequenz ist ungleich Null. |
| − | {Mit welchen der nachfolgend aufgeführten Tiefpassfunktionen ist eine ideale Demodulation – das heißt $ | + | {Mit welchen der nachfolgend aufgeführten Tiefpassfunktionen ist eine ideale Demodulation – das heißt $v(t) = q(t)$ – prinzipiell möglich? |
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| − | + Rechtecktiefpass | + | + Rechtecktiefpass, |
| − | - Gaußtiefpass | + | - Gaußtiefpass, |
| − | + Trapeztiefpass | + | + Trapeztiefpass, |
- Spalttiefpass. | - Spalttiefpass. | ||
| − | {Wie ist die untere Eckfrequenz $f_1$ eines Trapeztiefpasses mindestens zu wählen, damit keine Verzerrungen entstehen? | + | {Wie ist die untere Eckfrequenz $f_1$ eines Trapeztiefpasses mindestens zu wählen, damit keine Verzerrungen entstehen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $f_{1, min}$ | + | $f_{\text{1, min}} \ = \ $ { 5 3% } $\ \text{kHz}$ |
| − | {Wie groß darf die obere Eckfrequenz $f_2$ des Trapeztiefpasses höchstens sein, damit keine Verzerrungen entstehen? | + | {Wie groß darf die obere Eckfrequenz $f_2$ des Trapeztiefpasses höchstens sein, damit keine Verzerrungen entstehen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $f_{2,max}$ | + | $f_{\text{2, max}} \ = \ $ { 95 3% } $\ \text{kHz}$ |
| − | {Welche Grenzfrequenz $ | + | {Welche Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ eines idealen, rechteckförmigen Tiefpasses würden Sie wählen, wenn Rauschstörungen nicht zu vernachlässigen sind? |
| − | |type=" | + | |type="()"} |
| − | - $ | + | - $f_{\rm G} = 4 \ \rm kHz$, |
| − | + $ | + | + $f_{\rm G} = 6 \ \rm kHz$, |
| − | - $ | + | - $f_{\rm G} = 10 \ \rm kHz$. |
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: |
| + | *Das dargestellte Sinkensignal $v(t)$ stimmt exakt mit dem als Gleichung gegebenen Signal $b(t)$ überein und enthält somit auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. | ||
| + | *Das Filter $H_{\rm E}(f)$ fehlt entweder ganz oder dessen obere Grenzfrequenz $f_2$ ist zu hoch. | ||
| + | *Bezüglich der unteren Grenzfrequenz $f_1$ ist nur die Aussage möglich, dass diese kleiner ist als die kleinste im Signal $b(t)$ vorkommende Frequenz $\text{(2 kHz)}$. | ||
| + | *Ob ein Gleichanteil durch das Filter entfernt wird oder nicht, ist unklar, da ein solcher im Signal $b(t)$ nicht enthalten ist. | ||
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| + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>: | ||
| + | *Voraussetzung für eine verzerrungsfreie Demodulation ist, dass bis zu einer bestimmten Frequenz $f_1$ alle Spektralanteile gleich und möglichst ungedämpft übertragen werden und alle Anteile bei Frequenzen $f > f_2$ vollständig unterdrückt werden. | ||
| + | *Der Rechteck– und der Trapeztiefpass erfüllen diese Bedingung. | ||
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| − | ''' | + | '''(3)''' Sichergestellt werden muss, dass der $\text{5 kHz}$–Anteil noch im Durchlassbereich liegt: |
| + | :$$f_{\text{1, min}}\hspace{0.15cm}\underline{ =5 \ \rm kHz}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Alle Spektralanteile in der Umgebung der doppelten Trägerfrequenz – genauer gesagt zwischen $\text{95 kHz}$ und $\text{ 105 kHz}$ – müssen vollständig unterdrückt werden: | ||
| + | :$$f_{\text{2, max}}\hspace{0.15cm}\underline{ =95 \ \rm kHz}.$$ | ||
| + | *Ansonsten würde es zu nichtlinearen Verzerrungen kommen. | ||
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| − | '''5 | + | '''(5)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
| + | *Die Grenzfrequenz} $f_{\rm G} = \text{ 4 kHz}$ hätte (lineare) Verzerrungen zur Folge, da dann der $\text{5 kHz}$–Anteil abgeschnitten würde. | ||
| + | *Zu bevorzugen ist der Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = \text{6 kHz}$, da mit $f_{\rm G} = \text{10 kHz}$ dem Nutzsignal $v(t)$ mehr Rauschanteile überlagert wären. | ||
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Aktuelle Version vom 6. Dezember 2021, 11:45 Uhr
Signale bei ZSB–AM und Synchrondemodulation
Wir betrachten das gleiche Übertragungssystem wie in Aufgabe 2.4. Es wird nun allerdings stets eine perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation des Synchrondemodulators $\rm (SD)$ vorausgesetzt.
Das Quellensignal $q(t)$, das Sendesignal $s(t)$ sowie das Signal $b(t)$ vor dem Tiefpassfilter innerhalb des Synchrondemodulators sind wie folgt gegeben:
- $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)\hspace{0.2cm}{\rm mit }$$
- $$q_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
- $$q_2(t) = 1\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
- $$s(t) = q(t) \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
- $$b(t) = s(t) \cdot 2 \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt oben das Quellensignal $q(t)$ und in der Mitte das Sendesignal $s(t)$.
In der letzten Skizze ist das Sinkensignal $v(t)$ dargestellt (violetter Kurvenverlauf).
- Dieses stimmt offensichtlich nicht mit dem Quellensignal (blau-gestrichelte Kurve) überein.
- Der Grund für das unerwünschte Ergebnis $v(t) ≠ q(t)$ könnte zum Beispiel ein fehlender oder falsch dimensionierter Tiefpass sein.
In den Teilaufgaben (3) und (4) wird der so genannte Trapeztiefpass verwendet, dessen Frequenzgang wie folgt lautet:
- $$H_{\rm E}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\ {f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Blockschaltbild und Zeitbereichsdarstellung.
- Im Gegensatz zur Aufgabe 2.4 beschreiben hier $f_1$ und $f_2$ nicht Signalfrequenzen, sondern beziehen sich auf das Tiefpassfilter.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist die erste Aussage:
- Das dargestellte Sinkensignal $v(t)$ stimmt exakt mit dem als Gleichung gegebenen Signal $b(t)$ überein und enthält somit auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz.
- Das Filter $H_{\rm E}(f)$ fehlt entweder ganz oder dessen obere Grenzfrequenz $f_2$ ist zu hoch.
- Bezüglich der unteren Grenzfrequenz $f_1$ ist nur die Aussage möglich, dass diese kleiner ist als die kleinste im Signal $b(t)$ vorkommende Frequenz $\text{(2 kHz)}$.
- Ob ein Gleichanteil durch das Filter entfernt wird oder nicht, ist unklar, da ein solcher im Signal $b(t)$ nicht enthalten ist.
(2) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:
- Voraussetzung für eine verzerrungsfreie Demodulation ist, dass bis zu einer bestimmten Frequenz $f_1$ alle Spektralanteile gleich und möglichst ungedämpft übertragen werden und alle Anteile bei Frequenzen $f > f_2$ vollständig unterdrückt werden.
- Der Rechteck– und der Trapeztiefpass erfüllen diese Bedingung.
(3) Sichergestellt werden muss, dass der $\text{5 kHz}$–Anteil noch im Durchlassbereich liegt:
- $$f_{\text{1, min}}\hspace{0.15cm}\underline{ =5 \ \rm kHz}.$$
(4) Alle Spektralanteile in der Umgebung der doppelten Trägerfrequenz – genauer gesagt zwischen $\text{95 kHz}$ und $\text{ 105 kHz}$ – müssen vollständig unterdrückt werden:
- $$f_{\text{2, max}}\hspace{0.15cm}\underline{ =95 \ \rm kHz}.$$
- Ansonsten würde es zu nichtlinearen Verzerrungen kommen.
(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Die Grenzfrequenz} $f_{\rm G} = \text{ 4 kHz}$ hätte (lineare) Verzerrungen zur Folge, da dann der $\text{5 kHz}$–Anteil abgeschnitten würde.
- Zu bevorzugen ist der Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = \text{6 kHz}$, da mit $f_{\rm G} = \text{10 kHz}$ dem Nutzsignal $v(t)$ mehr Rauschanteile überlagert wären.
