Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: Zum RAKE–Empfänger: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet: | + | Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet: |
:$$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $τ = 1 \ \rm | + | Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $τ = 1 \ \rm µ s$. |
| − | Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form | + | Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K$, $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$. |
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| + | *Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. | ||
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| + | *Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form | ||
:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$ | ||
| − | angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = τ$ liegen. | + | :angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$ geeignet gewählt werden. |
| + | *Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = τ$ liegen. Die Konstante $K$ ist so zu wählen, dass die Amplitude des Hauptpfads $A_1 = 1$ ist: | ||
| + | :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$ | ||
| + | Gesucht sind außer den RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $s_0 = 1$ und Breite $T = \ \rm 5 µ s$ ist. | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Prinzip_des_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4ngers |Prinzip des RAKE-Empfängers]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Prinzip_des_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4ngers |Prinzip des RAKE-Empfängers]]. |
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| − | + $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen. | + | + $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen. |
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| − | {Setzen Sie $K = 1$, $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $τ_0$ und $τ_1$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_0 = A_2$ erfüllt wird. | + | {Setzen Sie $K = 1$, $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $τ_0$ und $τ_1$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_0 = A_2$ erfüllt wird. |
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$K \ = \ $ { 1.923 3% } | $K \ = \ $ { 1.923 3% } | ||
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| − | + Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$. | + | + Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$. |
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| − | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
| − | *Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt ⇒ $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt: | + | *Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt ⇒ $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt: |
:$$ h_(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ h_(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | + | |
| − | *Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K} | + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
| + | *Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür: | ||
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: $H_{\rm K} | + | *Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: |
| − | :$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$ | + | # $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und |
| − | *Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert. | + | # der Betrag ist periodisch mit $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: |
| + | :$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau).$$ | ||
| + | *Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert. | ||
| − | '''(3)''' Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort: | + | |
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| + | '''(3)''' Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. | ||
| + | *Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. | ||
| + | *Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort: | ||
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste | + | *Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$: |
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| − | *Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$: | + | *Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$: |
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis: | + | *Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis: |
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'''(4)''' Für den Normierungsfaktor muss gelten: | '''(4)''' Für den Normierungsfaktor muss gelten: | ||
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt 0.24/0.52 = 6/13): | + | *Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort $($es gilt $0.24/0.52 = 6/13)$: |
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| + | '''(5)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt: | ||
| + | *Für das Empfangssignal $r(t)$ gilt: | ||
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| + | *und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$: | ||
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| + | *Die Überhöhung des Ausgangssignals ⇒ $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor $K = 25/13$ zurückzuführen. | ||
| + | *Mit $K = 1$ wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich $1$. | ||
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Aktuelle Version vom 17. Dezember 2021, 17:06 Uhr
Zweiwegekanal und "RAKE"
Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
- $$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $τ = 1 \ \rm µ s$.
Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K$, $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$.
- Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen.
- Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
- $$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
- angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$ geeignet gewählt werden.
- Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = τ$ liegen. Die Konstante $K$ ist so zu wählen, dass die Amplitude des Hauptpfads $A_1 = 1$ ist:
- $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
Gesucht sind außer den RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $s_0 = 1$ und Breite $T = \ \rm 5 µ s$ ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Prinzip des RAKE-Empfängers.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt ⇒ $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt:
- $$ h_(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
- $$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
- $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und
- der Betrag ist periodisch mit $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
- $$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau).$$
- Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert.
(3) Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$.
- Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$.
- Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
- $$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
- Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$:
- $$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$:
- $$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$
- Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
- $$ \underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Für den Normierungsfaktor muss gelten:
- $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort $($es gilt $0.24/0.52 = 6/13)$:
- $$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers
(5) Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die Grafik zeigt:
- Für das Empfangssignal $r(t)$ gilt:
- $$r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm µ s})\hspace{0.05cm},$$
- und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$:
- $$b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1 \cdot s (t - 1\,{\rm µ s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Überhöhung des Ausgangssignals ⇒ $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor $K = 25/13$ zurückzuführen.
- Mit $K = 1$ wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich $1$.
