Aufgabe 2.6Z: PN-Generator der Länge 3: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom | + | Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom |
:$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$ | :$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$ | ||
| − | und somit der Oktalkennung ( | + | und somit der Oktalkennung $(g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0)$ = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$. |
Das zugehörige reziproke Polynom | Das zugehörige reziproke Polynom | ||
| − | $$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3} ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$ | + | :$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3}\cdot ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$ |
| − | hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$. | + | hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$. |
| − | *Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt. | + | *Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt. |
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| − | *Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]]. | + | *Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|"Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel"]]. |
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| − | {Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$? | + | {Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$? |
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$P \ = \ $ { 7 } | $P \ = \ $ { 7 } | ||
| − | {Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? <br> | + | {Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten $15$ Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>Hinweis: Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zur Zeit $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird. |
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- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . . | - $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . . | ||
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- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | - Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | ||
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | + In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | ||
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| − | + Die Folge $1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . . ist nicht möglich. | + | + Die Folge $1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ ... ist nicht möglich. |
| − | {Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung? | + | {Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten $15$ Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung? |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$. | + | '''(1)''' Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$. |
| − | '''(2)''' Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt: | + | '''(2)''' Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt: |
* $S_2(\nu) = S_1(\nu - 1)$, | * $S_2(\nu) = S_1(\nu - 1)$, | ||
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Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen: | Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen: | ||
| − | *Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$. | + | *Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$. |
| − | *Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> : | + | *Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> : |
:$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$ | :$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$ | ||
| − | *Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$ ⇒ Periodenlänge ist $P= 15$. | + | *Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$ ⇒ Periodenlänge ist $P= 15$. |
| − | *Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz. | + | *Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz. |
| + | *Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von $S_2= 0$ und $S_3= 1$ $($für $\nu = 0)$ folgt zum nächsten Zeitpunkt $(\nu = 1)$ zwingend: $S_1= 1$. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht. | ||
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| + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>: | ||
| + | *Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $L$ (nämlich dann, wenn in allen $L$ Speicherzellen eine Eins steht). | ||
| + | *Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind. Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen. | ||
| + | *Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M-Sequenz gilt dagegen $P= 2^L - 1.$ Für keinen Wert von $L$ ist $P = 2$ möglich. | ||
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| − | [[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png|right|frame|PN–Generator mit Oktalkennung $13$]] | + | [[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png|right|frame|PN–Generator mit der Oktalkennung $13$]] |
| − | '''(4)''' In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft: | + | '''(4)''' In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft: |
| − | *Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 (mit $P = 15$ | + | *Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 $($mit $P = 15)$ ausscheidet. |
| − | *Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$. | + | *Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$. |
| − | *Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz. | + | *Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz. |
Aktuelle Version vom 29. Dezember 2021, 13:50 Uhr
PN-Generator mit $L = 3$
Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom
- $$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$
und somit der Oktalkennung $(g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0)$ = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$.
Das zugehörige reziproke Polynom
- $$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3}\cdot ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$
hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.
- Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt.
- Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
- Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo "Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel".
Fragebogen
Musterlösung
PN–Generator mit der Oktalkennung $15$
(1) Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.
(2) Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt:
- $S_2(\nu) = S_1(\nu - 1)$,
- $S_3(\nu) = S_2(\nu - 1)$,
- $S_1(\nu) = S_2(\nu - 1) \ {\rm mod } \ S_3(\nu - 1)$.
Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:
- Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$.
- Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem Lösungsvorschlag 3 :
- $$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$
- Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$ ⇒ Periodenlänge ist $P= 15$.
- Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz.
- Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von $S_2= 0$ und $S_3= 1$ $($für $\nu = 0)$ folgt zum nächsten Zeitpunkt $(\nu = 1)$ zwingend: $S_1= 1$. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $L$ (nämlich dann, wenn in allen $L$ Speicherzellen eine Eins steht).
- Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind. Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
- Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M-Sequenz gilt dagegen $P= 2^L - 1.$ Für keinen Wert von $L$ ist $P = 2$ möglich.
PN–Generator mit der Oktalkennung $13$
(4) In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der Lösungsvorschlag 2 zutrifft:
- Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 $($mit $P = 15)$ ausscheidet.
- Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$.
- Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.
