Aufgaben:Aufgabe 2.13: Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe | + | Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation $\rm (QAM)$ erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen $q_1(t)$ und $q_2(t)$ über den gleichen Kanal. |
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| + | In dieser Aufgabe gelte mit $A_1 = A_2 = 2\ \rm V$: | ||
| + | :$$q_1(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$ | ||
| + | :$$q_2(t) = A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit $ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$: | ||
| + | :$$z_1(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$ | ||
| + | :$$ z_2(t) = \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$ | ||
| + | :$$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$ | ||
| + | :$$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Die beiden Tiefpässe $\rm TP_1$ und $\rm TP_2$ mit den Eingangssignalen $b_1(t)$ und $b_2(t)$ entfernen alle Frequenzanteile $|f| > f_{\rm T}$. | ||
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten|Weitere AM–Varianten]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)]]. | ||
| + | *Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale $z_2(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden. Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben. | ||
| + | *Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen: | ||
| + | :$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$ | ||
| + | :$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$ | ||
| + | :$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| − | {Berechnen Sie das Sendesignal $s(t)$ für den Fall $f_1 ≠ f_2$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? | + | {Berechnen Sie das Sendesignal $s(t)$ für den Fall $f_1 ≠ f_2$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? |
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| − | - $s(t)$ besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen. | + | - $s(t)$ besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen. |
| − | + $s(t)$ setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen. | + | + $s(t)$ setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen. |
| − | - $s(t)$ setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen. | + | - $s(t)$ setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen. |
| − | {Wie lautet $s(t)$ für $f_1 = f_2 = 5 kHz$ | + | {Wie lautet $s(t)$ für $f_1 = f_2 = 5 \ \rm kHz$? Welcher Signalwert tritt bei $t = 50 \ \rm µ s$ auf? |
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| − | $s(t = 50 | + | $s(t = 50 \ \rm µ s) \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$ |
| − | {Berechnen Sie für $ | + | {Berechnen Sie für $f_1 = f_2$ und $Δϕ_{\rm T} = 0$ (kein Phasenversatz) die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$. Welche Aussagen treffen zu? |
| − | |type=" | + | |type="()"} |
| − | + Es gilt $ | + | + Es gilt $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$. |
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | - Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | ||
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | - Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | ||
| − | {Berechnen Sie | + | {Berechnen Sie die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$ für $f_1 = f_2$ und den Phasenversatz $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$. Welche Aussagen treffen zu? |
| − | |type=" | + | |type="()"} |
| − | - Es gilt $ | + | - Es gilt $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$. |
+ Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | + Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | ||
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | - Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | ||
| − | {Welche der folgenden Aussagen treffen für $f_1 ≠ f_2$ und $ | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen für $f_1 ≠ f_2$ und $Δϕ_{\rm T} ≠ 0$ (beliebiger Phasenversatz) zu? |
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| − | - Es gilt $ | + | - Es gilt $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$. |
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | - Es ergeben sich lineare Verzerrungen. | ||
+ Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | + Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man: |
| − | '''2 | + | :$$s(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$ |
| − | '''3 | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) + |
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| − | ''' | + | *Richtig ist demnach der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>. |
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| + | '''(2)''' Mit $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$ und $f_1 = f_2 = 5\ \rm kHz$ überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf. | ||
| + | *Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis: | ||
| + | :$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(3)''' Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>: | ||
| + | *Bei phasensynchroner Demodulation $(Δϕ_T = 0)$ erhält man für die Signale vor den Tiefpässen gemäß der Teilaufgabe '''(2)''': | ||
| + | :$$b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$ | ||
| + | :$$ b_2(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Nach Eliminierung der jeweiligen $45\ \rm kHz$–Anteile ergibt sich somit $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$. | ||
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| + | '''(4)''' Analog zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt nun: | ||
| + | :$$ b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= | ||
| + | 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$ | ||
| + | :$$b_2(t)= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= | ||
| + | 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf. | ||
| + | *Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen ⇒ <u>Antwort 2</u>. | ||
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| + | '''(5)''' Allgemein gilt für das Empfangssignal: | ||
| + | :$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und Bandbegrenzung führt zu den Signalen | ||
| + | :$$v_1(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$ | ||
| + | :$$ v_2(t) = \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Daraus ist zu ersehen: | ||
| + | *Bei einem Phasenversatz von $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ beinhaltet das Sinkensignal $v_1(t)$ nicht nur das um $\cos(30^\circ) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$, <br>sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$. Diese ist mit dem Faktor $\sin(30^\circ) = 0.5$ gewichtet. | ||
| + | *Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor ⇒ <u>Antwort 3</u>. | ||
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Aktuelle Version vom 18. Februar 2022, 18:09 Uhr
Betrachtetes Modell der $\rm QAM$
Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation $\rm (QAM)$ erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen $q_1(t)$ und $q_2(t)$ über den gleichen Kanal.
In dieser Aufgabe gelte mit $A_1 = A_2 = 2\ \rm V$:
- $$q_1(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$
- $$q_2(t) = A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit $ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$:
- $$z_1(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
- $$ z_2(t) = \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
- $$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$
- $$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Tiefpässe $\rm TP_1$ und $\rm TP_2$ mit den Eingangssignalen $b_1(t)$ und $b_2(t)$ entfernen alle Frequenzanteile $|f| > f_{\rm T}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere AM–Varianten.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM).
- Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale $z_2(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden. Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
- Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
- $$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
- $$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
- $$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:
- $$s(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist demnach der zweite Lösungsvorschlag.
(2) Mit $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$ und $f_1 = f_2 = 5\ \rm kHz$ überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf.
- Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:
- $$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig ist der erste Lösungsvorschlag:
- Bei phasensynchroner Demodulation $(Δϕ_T = 0)$ erhält man für die Signale vor den Tiefpässen gemäß der Teilaufgabe (2):
- $$b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$
- $$ b_2(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
- Nach Eliminierung der jeweiligen $45\ \rm kHz$–Anteile ergibt sich somit $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$.
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:
- $$ b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$
- $$b_2(t)= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf.
- Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen ⇒ Antwort 2.
(5) Allgemein gilt für das Empfangssignal:
- $$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und Bandbegrenzung führt zu den Signalen
- $$v_1(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$
- $$ v_2(t) = \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ist zu ersehen:
- Bei einem Phasenversatz von $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ beinhaltet das Sinkensignal $v_1(t)$ nicht nur das um $\cos(30^\circ) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$,
sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$. Diese ist mit dem Faktor $\sin(30^\circ) = 0.5$ gewichtet. - Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor ⇒ Antwort 3.
