Aufgaben:Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz von Zufallsgrößen]] | + | [[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz <br>von Zufallsgrößen]] |
− | Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert $m$ und Varianz $\sigma^2$. | + | Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert $m$ und Varianz $\sigma^2$. |
− | *Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF. | + | *Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ und Verteilungsfunktion $\rm (VTF)$. |
*Über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt. | *Über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt. | ||
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:$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$ | :$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$ | ||
− | Hierbei bezeichnen $A$ und $B$ (beliebige) konstante Werte. | + | Hierbei bezeichnen $A$ und $B$ (beliebige) konstante Werte. |
*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $m= 0$, $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$. | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $m= 0$, $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$. | ||
− | *Bei der Teilaufgabe '''(6)''' wird vorausgesetzt, dass $u$ und $v$ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert $m= 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ seien. Für die Konstanten gelte hier $A = B = 1$. | + | *Bei der Teilaufgabe '''(6)''' wird vorausgesetzt, dass $u$ und $v$ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert $m= 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ seien. Für die Konstanten gelte hier $A = B = 1$. |
*Für die Aufgabe '''(7)''' gelte weiterhin $A = B = 1$. Hier seien die Zufallsgrößen $u$ und $v$ symmetrisch zweipunktverteilt auf $\pm$1: | *Für die Aufgabe '''(7)''' gelte weiterhin $A = B = 1$. Hier seien die Zufallsgrößen $u$ und $v$ symmetrisch zweipunktverteilt auf $\pm$1: | ||
:$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$ | :$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$ | ||
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− | {Wie groß sind Mittelwert und Streuung von $y$ für $A = 1$ und $B = 2$? | + | {Wie groß sind Mittelwert und Streuung von $y$ für $A = 1$ und $B = 2$? |
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$m_y \ = \ $ { 0. } | $m_y \ = \ $ { 0. } | ||
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− | {Welche Aussagen sind zutreffend, wenn $A =B = 1$ gilt und $x$ und $y$ jeweils gaußverteilt sind mit Mittelwert $m = 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ ? | + | {Welche Aussagen sind zutreffend, wenn $A =B = 1$ gilt und $x$ und $y$ jeweils gaußverteilt sind mit Mittelwert $m = 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ ? |
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+ Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind unkorreliert. | + Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind unkorreliert. | ||
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− | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x$ und $y$ symmetrisch zweipunktverteilt sind und $A =B = 1$ gilt? | + | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x$ und $y$ symmetrisch zweipunktverteilt sind und $A =B = 1$ gilt? |
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+ Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind unkorreliert. | + Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind unkorreliert. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Da die Zufallsgrößen $u$ und $v$ mittelwertfrei sind $(m = 0)$, ist auch die Zufallsgröße $x$ mittelwertfrei: | + | '''(1)''' Da die Zufallsgrößen $u$ und $v$ mittelwertfrei sind $(m = 0)$, ist auch die Zufallsgröße $x$ mittelwertfrei: |
:$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$ | :$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$ | ||
− | Für die Varianz und die Streuung gelten: | + | *Für die Varianz und die Streuung gelten: |
:$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$ | :$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$ | ||
− | '''(2)''' Da $u$ und $v$ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$. | + | |
− | *Wegen $m=0$ gilt zudem $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$ | + | '''(2)''' Da $u$ und $v$ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$. |
− | *Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen $u$ und $v$ ergäbe sich dagegen für $m_y = (A -B) \cdot m$ ein anderer Wert als für $m_x = (A +B) \cdot m$. | + | *Wegen $m=0$ gilt zudem $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$ |
+ | *Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen $u$ und $v$ ergäbe sich dagegen für $m_y = (A -B) \cdot m$ ein anderer Wert als für $m_x = (A +B) \cdot m$. | ||
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− | '''(3)''' Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall $m \ne 0$ aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment: | + | '''(3)''' Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall $m \ne 0$ aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment: |
:$$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$ | :$$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$ | ||
− | Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus: | + | *Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus: |
:$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$ | :$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$ | ||
− | Damit ergibt sich die Kovarianz zu | + | *Damit ergibt sich die Kovarianz zu |
:$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$ | :$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$ | ||
− | Mit $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$ erhält man $\mu_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$ und zwar unabhängig vom Mittelwert $m$ der Größen $u$ und $v$. | + | *Mit $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$ erhält man $\mu_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$, und zwar unabhängig vom Mittelwert $m$ der Größen $u$ und $v$. |
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− | [[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|frame|Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten $B/A$]] | + | [[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|frame|Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten $B/A$]] |
'''(4)''' Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu | '''(4)''' Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu | ||
:$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} | :$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} | ||
\hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$ | \hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$ | ||
− | Mit $B/A = 2$ folgt daraus $\rho_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$. | + | *Mit $B/A = 2$ folgt daraus $\rho_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$. |
− | '''(5)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>: | + | |
− | *Aus $B= 0$ folgt $\rho_{xy} = 1$ (strenge Korrelation). Man erkennt weiter, dass in diesem Fall $x = u$ und $y = u$ identische Zufallsgrößen sind. | + | |
− | *Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für $A = 1$ und $B= -2$ ergibt sich ebenfalls $\rho_{xy} = -0.6$. | + | '''(5)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>: |
− | *Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe (4) berechneten Gleichung der Quotient $B/A$ nur quadratisch auftritt. | + | *Aus $B= 0$ folgt $\rho_{xy} = 1$ (strenge Korrelation). Man erkennt weiter, dass in diesem Fall $x = u$ und $y = u$ identische Zufallsgrößen sind. |
− | *Ist $B \gg A$, so werden sowohl $x$ als auch $y$ fast ausschließlich durch die Zufallsgröße $v$ bestimmt und es ist $ y \approx -x$. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy} | + | *Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für $A = 1$ und $B= -2$ ergibt sich ebenfalls $\rho_{xy} = -0.6$. |
− | *Dagegen ergibt sich für $B/A = 1$ stets der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy} = 0$ und damit die Unkorreliertheit zwischen $x$ und $y$. | + | *Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe '''(4)''' berechneten Gleichung der Quotient $B/A$ nur quadratisch auftritt. |
+ | *Ist $B \gg A$, so werden sowohl $x$ als auch $y$ fast ausschließlich durch die Zufallsgröße $v$ bestimmt und es ist $ y \approx -x$. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy} \approx -1$. | ||
+ | *Dagegen ergibt sich für $B/A = 1$ stets der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy} = 0$ und damit die Unkorreliertheit zwischen $x$ und $y$. | ||
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'''(6)''' <u>Beide Aussagen richtig</u> sind richtig: | '''(6)''' <u>Beide Aussagen richtig</u> sind richtig: | ||
− | *Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets ( | + | *Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets $($also bei jeder beliebigen WDF der Größen $u$ und $v)$ unkorreliert. |
− | *Die neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gaußverteilt. | + | *Die neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gaußverteilt. |
*Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt. | *Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt. | ||
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[[Datei:P_ID404__Sto_A_4_7_g.png|right|frame|2D-WDF und Rand-WDF]] | [[Datei:P_ID404__Sto_A_4_7_g.png|right|frame|2D-WDF und Rand-WDF]] | ||
'''(7)''' Hier ist nur die <u>Aussage 1</u> zutreffend: | '''(7)''' Hier ist nur die <u>Aussage 1</u> zutreffend: | ||
− | *Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit $A=B= 1$ auch hier zu $\rho_{xy} = 0$. Das heißt | + | *Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit $A=B= 1$ auch hier zu $\rho_{xy} = 0$. Das heißt: $x$ und $y$ sind auch hier unkorreliert. |
− | *Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt nun: | + | *Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt nun: |
:$$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot f_{y}(y).$$ | :$$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot f_{y}(y).$$ | ||
Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 17:32 Uhr
Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert $m$ und Varianz $\sigma^2$.
- Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ und Verteilungsfunktion $\rm (VTF)$.
- Über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt.
Es werden nun zwei neue Zufallsgrößen $x$ und $y$ entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
- $$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
- $$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
Hierbei bezeichnen $A$ und $B$ (beliebige) konstante Werte.
- Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $m= 0$, $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$.
- Bei der Teilaufgabe (6) wird vorausgesetzt, dass $u$ und $v$ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert $m= 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ seien. Für die Konstanten gelte hier $A = B = 1$.
- Für die Aufgabe (7) gelte weiterhin $A = B = 1$. Hier seien die Zufallsgrößen $u$ und $v$ symmetrisch zweipunktverteilt auf $\pm$1:
- $${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$
- Für die Varianz und die Streuung gelten:
- $$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$
(2) Da $u$ und $v$ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$.
- Wegen $m=0$ gilt zudem $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$
- Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen $u$ und $v$ ergäbe sich dagegen für $m_y = (A -B) \cdot m$ ein anderer Wert als für $m_x = (A +B) \cdot m$.
(3) Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall $m \ne 0$ aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment:
- $$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$
- Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus:
- $$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
- Damit ergibt sich die Kovarianz zu
- $$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
- Mit $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$ erhält man $\mu_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$, und zwar unabhängig vom Mittelwert $m$ der Größen $u$ und $v$.
(4) Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu
- $$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} \hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
- Mit $B/A = 2$ folgt daraus $\rho_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$.
(5) Richtig sind die Aussagen 1, 3 und 4:
- Aus $B= 0$ folgt $\rho_{xy} = 1$ (strenge Korrelation). Man erkennt weiter, dass in diesem Fall $x = u$ und $y = u$ identische Zufallsgrößen sind.
- Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für $A = 1$ und $B= -2$ ergibt sich ebenfalls $\rho_{xy} = -0.6$.
- Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe (4) berechneten Gleichung der Quotient $B/A$ nur quadratisch auftritt.
- Ist $B \gg A$, so werden sowohl $x$ als auch $y$ fast ausschließlich durch die Zufallsgröße $v$ bestimmt und es ist $ y \approx -x$. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy} \approx -1$.
- Dagegen ergibt sich für $B/A = 1$ stets der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy} = 0$ und damit die Unkorreliertheit zwischen $x$ und $y$.
(6) Beide Aussagen richtig sind richtig:
- Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets $($also bei jeder beliebigen WDF der Größen $u$ und $v)$ unkorreliert.
- Die neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gaußverteilt.
- Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt.
(7) Hier ist nur die Aussage 1 zutreffend:
- Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit $A=B= 1$ auch hier zu $\rho_{xy} = 0$. Das heißt: $x$ und $y$ sind auch hier unkorreliert.
- Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt nun:
- $$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot f_{y}(y).$$