Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS)

1. Stochastische Signaltheorie
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Leistungsdichtespektrum (LDS)

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Theorem von Wiener-Chintchine

Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.  Wie im  letzten Kapitel  gezeigt wurde,  gelten dann die folgenden Aussagen:

• Jede einzelne Musterfunktion  $x_i(t)$  ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$.
• Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
• Die Autokorrelationsfunktion,  die allgemein von den beiden Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  beeinflusst wird,  hängt nur noch von der Zeitdifferenz  $τ = t_2 – t_1$  ab:

$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}\big[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})\big] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$

Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die  (linearen)  statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  im Zeitbereich.  Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die  „spektrale Leistungsdichte”,  häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.

$\text{Definition:}$  Das  Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  eines ergodischen Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:

$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} \tau. $$

Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das  "Theorem von  Wiener  und  Chintchin".

Ebenso kann die Autokorrelationsfunktion als Fourierrücktransformierte des Leistungsdichtespektrums berechnet werden (siehe Seite  "Fourierrücktransformation"):

$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} f.$$

• Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar,  wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
• Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite  "Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente"  vorgehen.

Physikalische Interpretation und Messung

Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_x(f)$.  Hierzu ist anzumerken:

• Das Zufallssignal  $x(t)$  wird auf ein  (möglichst)  rechteckförmiges und  (möglichst)  schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz  $f$  und Bandbreite  $Δf$  gegeben,  wobei  $Δf$  entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
• Das entsprechende Ausgangssignal  $x_f(t)$  wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer  $T_{\rm M}$  gebildet.  Damit erhält man die  "Leistung von  $x_f(t)$"  bzw. die  "Leistungsanteile von  $x(t)$  im Spektralbereich von  $f - Δf/2$  bis  $f + Δf/2$":

Zur Messung des Leistungsdichtespektrums

$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Die Division durch  $Δf$  führt zur spektralen Leistungsdichte:

$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$

• Hierbei bezeichnet  ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$  das einseitig definierte LDS  (nur positive Frequenzen).  Für  $f<0$   ⇒   ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. 
• Üblicherweise wird das zweiseitige Leistungsdichtespektrum verwendet.  Für dieses gilt:

$${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f).$$

• Während die Leistung  $P_{x_f}$  mit kleiner werdender Bandbreite  $Δf$  gegen Null tendiert,  bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von  $Δf$  nahezu konstant.  Für die exakte Bestimmung von  ${\it \Phi}_x(f)$  sind zwei Grenzübergänge notwendig:

$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter,  dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. 
• Die gesamte Signalleistung von  $x(t)$  erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:

$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite

Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  können auch auf die 

Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS

• Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  und
• das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$

eines Zufallsprozesses angewendet werden.  Aufgrund der spezifischen Eigenschaften

• von Autokorrelationsfunktion  (stets reell und gerade)
• und Leistungsdichtespektrum  (stets reell, gerade und nicht–negativ)

liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.

Wir betrachten nun wie im Abschnitt  "Interpretation der Autokorrelationsfunktion"  zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  anhand

• der beiden Mustersignale  $x(t)$  und  $y(t)$   ⇒   obere Skizze,
• der beiden Autokorrelationsfunktionen  $φ_x(τ)$  und  $φ_y(τ)$   ⇒   mittlere Skizze,
• der beiden Leistungsdichtespektren  ${\it \Phi}_x(f)$  und  ${\it \Phi}_y(f)$   ⇒   untere Skizze.

Anhand dieser beispielhaften Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich   ⇒   die Prozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  besitzen hier gleiche Leistung:

$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

• Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte  "Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite"  gilt hier ebenfalls:   Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.

• Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die  äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  $($man spricht„Nabla-f”$)$,  ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ$  im Kapitel  "Interpretation der Autokorrelationsfunktion":

$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$

• Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:

$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von der oberen Grafik auf dieser Seite aus:

• Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals  $x(t)$  sind  $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm µs$   und  $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
• Die äquivalente AKF-Dauer des Signals  $y(t)$  ist dreimal so groß:   $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm µs$.
• Dessen äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr  $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.

$\text{Allgemein gilt:}$  Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer  ${ {\rm \nabla} \tau_x}$  und äquivalenter LDS-Bandbreite  $ { {\rm \nabla} f_x}$  ist immer gleich  $1$:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$

$\text{Beweis:}$  Entsprechend den obigen Definitionen gilt:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$

$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$

Das Produkt ist somit gleich  $1$.

q.e.d.

$\text{Beispiel 2:}$  Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte  Weiße Rauschen  dar:

• Dieses beinhaltet alle Spektralanteile   (bis ins Unendliche).
• Die äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  ist also unendlich groß.

Das hier angegebene Gesetz besagt,  dass damit für die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ = 0$  gelten muss   ⇒   Weißes Rauschen besitzt stets eine diracförmige AKF.

Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo  "Der AWGN-Kanal",  insbesondere im zweiten Teil.

Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente

Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  aus.  Weiter setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.  Dann gilt:

• Die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ verschwindet  für  $τ → ∞$.
• Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_x(f)$  –  berechenbar als die Fouriertransformierte von  $φ_x(τ)$  –  ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.

Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess  $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess  $\{x_i(t)\}$  lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente  $m_y$  unterscheidet:

$$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$

Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses  $\{y_i(t)\}$  weisen dann folgende Eigenschaften auf:

• Der Grenzwert der AKF für  $τ → ∞$  ist nun nicht mehr Null, sondern  $m_y^2$.  Im gesamten  $τ$–Bereich von  $–∞$  bis  $+∞$  ist die AKF  $φ_y(τ)$  um  $m_y^2$  größer als  $φ_x(τ)$:

$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$

• Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion  $δ(f)$  mit dem Gewicht  $m_y^2$:

$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$

Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel  Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals  des Buches „Signaldarstellung”.  Weiterhin möchten wir Sie hier auf das Lernvideo  Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion  hinweisen.

Numerische LDS-Ermittlung

Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die  Fouriertransformation  streng miteinander verknüpft.  Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator  ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $,  also für

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$

Der Übergang vom Zeit– in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:

• Der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite  $B_x$  (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses)  über das Abtasttheorem festgelegt:

$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten  (abgetasteten)  AKF ergibt ein mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodisches LDS:

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$

$\text{Fazit:}$  Da sowohl  $φ_x(τ)$  als auch  ${\it \Phi}_x(f)$  gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:

$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$

• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  durch Bandbegrenzung auf den Bereich  $\vert f \vert ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
• Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der  ${\rm si}$–Funktion, wobei  ${\rm si}(x)$  für  $\sin(x)/x$  steht.

Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS

$\text{Beispiel 3:}$  Eine gaußförmige AKF  $φ_x(τ)$  wird im Abstand  $T_{\rm A}$  abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF  ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$  sei  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. 
• Diese mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodische Funktion  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).
• Das LDS  ${\it \Phi}_x(f)$  des zeitkontinuierlichen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:

• Die zeitdiskrete AKF  $φ_x(k · T_{\rm A})$  wurde aus  $N$  Abtastwerten numerisch ermittelt.  Wie bereits auf der Seite  Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung  gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn  $N$  zu klein gewählt wurde.
• Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte  $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:

$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$

$\text{Fazit:}$  Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter  $K$  bestimmt:

• Ist  $K$  zu klein gewählt, so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte  $φ_x(k · T_{\rm A})$  mit  $k > K$  nicht berücksichtigt.
• Bei zu großem  $K$  werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.
• Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines  $N$  bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.

• Deshalb sollte nur der AKF–Wert  $φ_x(0) = σ_x^2$  von Null verschieden ist.
• Ermittelt man aber die AKF numerisch aus lediglich  $N = 1000$  Abtastwerten, so erhält man auch für  $k ≠ 0$  endliche AKF–Werte.

• Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF–Werte bis zu  $6\%$  des Maximalwertes betragen können.
• Unten ist das numerisch ermittelte Leistungsdichtespektrum dargestellt.  Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$  konstant sein sollte.
• Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch  $K = 3$  bzw.  $K = 10$  das Ergebnis gegenüber  $K = 0$  verfälscht wird.

In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$.  Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.

• Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
• Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.12: LDS eines Binärsignals

Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen

Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF

Aufgabe 4.13Z: AMI-Code