Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS)

1. Stochastische Signaltheorie
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Leistungsdichtespektrum (LDS)

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Theorem von Wiener-Chintchine

Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.  Wie im  letzten Kapitel  gezeigt wurde,  gelten dann die folgenden Aussagen:

• Jede einzelne Musterfunktion  $x_i(t)$  ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$.
• Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
• Die Autokorrelationsfunktion,  die allgemein von den beiden Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  beeinflusst wird,  hängt nur noch von der Zeitdifferenz  $τ = t_2 – t_1$  ab:

$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}\big[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})\big] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$

Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die  (linearen)  statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  im Zeitbereich.  Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die  „spektrale Leistungsdichte”,  häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.

$\text{Definition:}$  Das  Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  eines ergodischen Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:

$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} \tau. $$

Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das  "Theorem von  Wiener  und  Chintchin".

Ebenso kann die Autokorrelationsfunktion als Fourierrücktransformierte des Leistungsdichtespektrums berechnet werden (siehe Seite  "Fourierrücktransformation"):

$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} f.$$

• Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar,  wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
• Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite  "Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente"  vorgehen.

Physikalische Interpretation und Messung

Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_x(f)$.  Hierzu ist anzumerken:

• Das Zufallssignal  $x(t)$  wird auf ein  (möglichst)  rechteckförmiges und  (möglichst)  schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz  $f$  und Bandbreite  $Δf$  gegeben,  wobei  $Δf$  entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
• Das entsprechende Ausgangssignal  $x_f(t)$  wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer  $T_{\rm M}$  gebildet.  Damit erhält man die  "Leistung von  $x_f(t)$"  bzw. die  "Leistungsanteile von  $x(t)$  im Spektralbereich von  $f - Δf/2$  bis  $f + Δf/2$":

Zur Messung des Leistungsdichtespektrums

$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Die Division durch  $Δf$  führt zur spektralen Leistungsdichte:

$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$

• Hierbei bezeichnet  ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$  das einseitig definierte LDS  (nur positive Frequenzen).  Für  $f<0$   ⇒   ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. 
• Üblicherweise wird das zweiseitige Leistungsdichtespektrum verwendet.  Für dieses gilt:

$${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f).$$

• Während die Leistung  $P_{x_f}$  mit kleiner werdender Bandbreite  $Δf$  gegen Null tendiert,  bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von  $Δf$  nahezu konstant.  Für die exakte Bestimmung von  ${\it \Phi}_x(f)$  sind zwei Grenzübergänge notwendig:

$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter,  dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. 
• Die gesamte Signalleistung von  $x(t)$  erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:

$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite

Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  können auch auf die 

Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS

• Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  und
• das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$

eines Zufallsprozesses angewendet werden.  Aufgrund der spezifischen Eigenschaften

• von Autokorrelationsfunktion  (stets reell und gerade)
• und Leistungsdichtespektrum  (stets reell, gerade und nicht–negativ)

liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.

Wir betrachten nun wie im Abschnitt  "Interpretation der Autokorrelationsfunktion"  zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  anhand

• der beiden Mustersignale  $x(t)$  und  $y(t)$   ⇒   obere Skizze,
• der beiden Autokorrelationsfunktionen  $φ_x(τ)$  und  $φ_y(τ)$   ⇒   mittlere Skizze,
• der beiden Leistungsdichtespektren  ${\it \Phi}_x(f)$  und  ${\it \Phi}_y(f)$   ⇒   untere Skizze.

Anhand dieser beispielhaften Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich   ⇒   die Prozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  besitzen hier gleiche Leistung:

$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

• Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte  "Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite"  gilt hier ebenfalls:   Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.

• Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die  äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  $($man spricht„Nabla-f”$)$,  ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ$  im Kapitel  "Interpretation der Autokorrelationsfunktion":

$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$

• Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:

$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von der oberen Grafik auf dieser Seite aus:

• Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals  $x(t)$  sind  $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm µs$   und  $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
• Die äquivalente AKF-Dauer des Signals  $y(t)$  ist dreimal so groß:   $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm µs$.
• Dessen äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr  $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.

$\text{Allgemein gilt:}$  Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer  ${ {\rm \nabla} \tau_x}$  und äquivalenter LDS-Bandbreite  $ { {\rm \nabla} f_x}$  ist immer gleich  $1$:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$

$\text{Beweis:}$  Entsprechend den obigen Definitionen gilt:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$

$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$

Das Produkt ist somit gleich  $1$.

q.e.d.

$\text{Beispiel 2:}$  Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte  Weiße Rauschen  dar:

• Dieses beinhaltet alle Spektralanteile   (bis ins Unendliche).
• Die äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  ist also unendlich groß.

Das hier angegebene Gesetz besagt,  dass damit für die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ = 0$  gelten muss   ⇒   Weißes Rauschen besitzt stets eine diracförmige AKF.

Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo  "Der AWGN-Kanal",  insbesondere im zweiten Teil.

Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente

Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  aus.  Weiter setzen wir voraus,  dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.  Dann gilt:

• Die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ verschwindet  für  $τ → ∞$.
• Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_x(f)$  –  berechenbar als die Fouriertransformierte von  $φ_x(τ)$  –  ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich,  also ohne diskrete Anteile.

Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess  $\{y_i(t)\}$,  der sich vom Prozess  $\{x_i(t)\}$  lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente  $m_y$  unterscheidet:

$$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$

Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses  $\{y_i(t)\}$  weisen dann folgende Eigenschaften auf:

• Der Grenzwert der AKF für  $τ → ∞$  ist nun nicht mehr Null,  sondern  $m_y^2$.  Im gesamten  $τ$–Bereich von  $–∞$  bis  $+∞$  ist die AKF  $φ_y(τ)$  um   $m_y^2$   größer als  $φ_x(τ)$:

$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$

• Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion  $δ(f)$  mit dem Gewicht  $m_y^2$:

$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$

• Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel  "Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals"  des Buches „Signaldarstellung”.  Zudem möchten wir Sie hier auf das Lernvideo  "Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion"  hinweisen.

Numerische LDS-Ermittlung

Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die  Fouriertransformation  streng miteinander verknüpft.  Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator  ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $,  also für

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$

Der Übergang vom Zeit– in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:

• Der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite  $B_x$  $($maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses$)$  über das Abtasttheorem festgelegt:

$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten  $($abgetasteten$)$  Autokorrelationsfunktion ergibt ein mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodisches Leistungsdichtespektrum:

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$

$\text{Fazit:}$  Da sowohl  $φ_x(τ)$  als auch  ${\it \Phi}_x(f)$  gerade und reelle Funktionen sind,  gilt der Zusammenhang:

$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$

• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  durch Bandbegrenzung auf den Bereich  $\vert f \vert ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
• Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der  ${\rm si}$–Funktion, wobei  ${\rm si}(x)$  für  $\sin(x)/x$  steht.

$\text{Beispiel 3:}$  Eine gaußförmige AKF  $φ_x(τ)$  wird im Abstand  $T_{\rm A}$  abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:

Zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion,  periodisch fortgesetztes Leistungsdichtespektrum

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten Autokorrelationsfunktion  ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$  sei  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. 

• Diese mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodische Funktion  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt  (roter Kurvenzug).

• Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_x(f)$  des zeitkontinuierlichen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:

1. Die zeitdiskrete AKF  $φ_x(k · T_{\rm A})$  wurde aus  $N$  Abtastwerten numerisch ermittelt. 
2. Wie auf der Seite  "Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung"  gezeigt,  sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert,  wenn  $N$  zu klein gewählt wurde.
3. Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums  $\rm (LDS)$  verwenden wir nur die AKF-Werte  $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:

$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$

$\text{Fazit:}$  Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter  $K$  bestimmt:

• Ist  $K$  zu klein gewählt,  so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte  $φ_x(k · T_{\rm A})$  mit  $k > K$  nicht berücksichtigt.
• Bei zu großem  $K$  werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt,  die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.
• Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines  $N$  bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.  Deshalb sollte eigentlich nur der AKF–Wert  $φ_x(0) = σ_x^2$  von Null verschieden sein.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

• Ermittelt man aber die AKF numerisch aus lediglich  $N = 1000$  Abtastwerten,  so erhält man auch für  $k ≠ 0$  endliche AKF–Werte.

• Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF–Werte bis zu  $6\%$  des Maximalwertes betragen können.

• Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt.  Der theoretische Verlauf  (gelbe Kurve)  sollte für  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$  konstant sein.

• Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen,  wie durch  $K = 3$  bzw.  $K = 10$  das Ergebnis gegenüber  $K = 0$  verfälscht wird.

Im betrachteten Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$.  Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.

1. Wird dieser zu klein gewählt,  so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
2. Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen,  die vorwiegend auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.12: Leistungsdichtespektrum eines Binärsignals

Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen

Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF

Aufgabe 4.13Z: AMI-Code