Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet: | + | Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. |
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| + | Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet: | ||
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$ | :$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$ | ||
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$ | :$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$ | ||
:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$ | :$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$ | ||
| − | Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt: | + | Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1,\ 2,\ 3)$ gilt: |
:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$ | :$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$ | ||
| − | + | Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll: | |
* $A_1 = B_2 = 1$, | * $A_1 = B_2 = 1$, | ||
* $A_2 = B_2 = 0$, | * $A_2 = B_2 = 0$, | ||
| − | * $A_3 = 0.8, \ | + | * $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$, |
| − | Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben: | + | Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben: |
:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + | :$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + | ||
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$ | B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$ | ||
| − | Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$ | + | Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$: |
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} | :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} | ||
1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ | 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ | ||
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| − | *Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]] | + | |
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| − | - $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: | + | - $\mathbf{K}$ kann bei geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich. |
| − | + Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein. | + | + Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein. |
| − | - Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein. | + | - Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein. |
| − | + Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein. | + | + Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein. |
| − | {Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$? | + | {Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$ ? |
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| − | $\rho_{12} \ =$ { 1 3% } | + | $\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% } |
| − | $\rho_{13} \ =$ { -1.03--0.97 } | + | $\rho_{13} \ = \ $ { -1.03--0.97 } |
| − | $\rho_{23} \ =$ { -1.03--0.97 } | + | $\rho_{23} \ = \ $ { -1.03--0.97 } |
| − | {Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall | + | {Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall: $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$. |
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| − | $\rho_{12} \ = $ { 0. } | + | $\rho_{12} \ = \ $ { 0. } |
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| − | '''(1)''' Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu: | + | '''(1)''' Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu: |
| − | *Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$ | + | *Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen $($hier: $x_1$ und $x_2)$ unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ $($über die Größe $u)$ und auch in Bezug zu $x_2$ $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$ aufweist. |
| − | *Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ | + | *Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = k_1 \cdot u$, $x_2 = k_2 \cdot v$ und $x_3 = k_3 \cdot w$ gelten. |
| − | *Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen. | + | *Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen. |
| − | *Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von | + | *Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe '''(2)''' betrachtet. |
| − | '''(2)''' In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$ | + | |
| − | + | '''(2)''' In diesem Fall sind die Größen $x_1 = x_2$ vollständig $($zu $100\%)$ korreliert. | |
| + | *Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten: | ||
:$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$ | :$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$ | ||
| − | In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$: | + | *In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$: |
:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 | :$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 | ||
\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$ | \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten: | + | |
| + | '''(3)''' Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. | ||
| + | *Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ | ||
| + | *Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten: | ||
:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot | :$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot | ||
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$ | 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$ | ||
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| − | + | *Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. | |
| − | Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht | + | *Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. |
| + | *Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen. | ||
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Aktuelle Version vom 29. März 2022, 13:57 Uhr
Sind die Zufallssignale korreliert?
Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.
Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
- $$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
- $$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
- $$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1,\ 2,\ 3)$ gilt:
- $$A_i^2 + B_i^2 =1.$$
Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:
- $A_1 = B_2 = 1$,
- $A_2 = B_2 = 0$,
- $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
- $$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:
- $${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$
Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
- Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Nur die zweite und die letzte Aussage treffen zu:
- Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen $($hier: $x_1$ und $x_2)$ unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ $($über die Größe $u)$ und auch in Bezug zu $x_2$ $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$ aufweist.
- Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = k_1 \cdot u$, $x_2 = k_2 \cdot v$ und $x_3 = k_3 \cdot w$ gelten.
- Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
- Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.
(2) In diesem Fall sind die Größen $x_1 = x_2$ vollständig $($zu $100\%)$ korreliert.
- Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
- $$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
- In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
- $$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
(3) Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt.
- Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
- Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
- $$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
- $$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
- Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.
- Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
- Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
